トーラスの体積

求め方をド忘れ下ので…

xy平面上の点（2，0）を中心とする半径1の円を、y軸の周りに回転してできる体積

を求めようとしています。
パップス・ギュルダンの定理を用いず、積分の基本形だけを用いて解く方法がありましたでしょうか。

No.5 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/18 12:34

>立体空間における偏角表示について不案内です。

ぞれほぞ難しくはありません。

(x, y, z) = ((a+rcosφ)cosθ, (a+rcosφ)sinθ, rsinφ) (θ=0～2π, φ=0～2π, r = 0～R)

は (x, z) = (a+rcosφ, rsinφ) (θ=0～2π, r = 0～R) を Z軸を中心にくるりと回転したものです。
(x, z) = (a+rcosφ, rsinφ) (θ=0～2π, r = 0～R)　は中心が (a, 0) で半径が R の
円盤です。ですから、くるりとやればトーラスになります。

この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございます。

お礼日時：2012/06/25 19:06

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/14 15:33

No.1 補足

(x, y, z) = ((a+rcosφ)cosθ, (a+rcosφ)sinθ, rsinφ) (θ=0～2π, φ=0～2π, r = 0～R)

の体積素の求め方ですが、この式は円(r, φ)の回転(θ)なので
r, φ, θ3軸がx, y, z座標上のあらゆる点でで直交しているのは自明。
dr, dφ, dθのx, y, z座標上での長さはそれぞれ、dr, rdφ, (a+rcosφ)dθ
なので 体積素 dv = (a+rcosφ)r dθdφdr

というのが簡単だと思います。

本式でやるなら、ヤコビアンか計量テンソルから体積素の係数((a+rcosφ)r)を求めるのが
よいでしょう。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/06/13 06:18

対称性を利用して

V=16∫[0→π/4] dθ∫[1→3] √{(1^2)-(2-r)^2} rdr
=4π∫[1→3] √{(1-(r-2)^2} rdr
r-2=tで置換
V=4π∫[-1→1] √(1-t^2) (t+2)dt
=4π∫[-1→1] t√(1-t^2)dt+8π∫[-1→1] √(1-t^2)dt
=16π∫[0→1] √(1-t^2)dt
t=sin(u)(0≦u≦π/2)で置換
V=16π∫[0→1] √(1-t^2)dt
=16π∫[0→π/2] cos^2(u)du
=8π∫[0→π/2] 1+cos(2u)du
=4π^2

この回答への補足

V=16∫[0→π/4] dθ∫[1→3] √{(1^2)-(2-r)^2} rdr

の部分が、まずよく分かりません。
解説をお願いいたします。

補足日時：2012/06/15 12:00

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2012/06/13 01:48

回転体の体積の公式

V=π∫y^2dx
を使えば、xとyが逆になっていますが、
V=π∫[-1,1](2+√(1-y^2))^2dy-π∫[-1,1](2-√(1-y^2))^2dy
=8π∫[-1,1]√(1-y^2)dy
=4π^2　　（∵∫[-1,1]√(1-y^2)dyは半径1の円の面積の半分）

この回答への補足

V=π∫y^2dx
は分かるのですが、
おそらく「ドーナツの内側をくり抜く」
ためにされている演算がよく分かりません。解説をお願いいたします。

補足日時：2012/06/15 11:53

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/13 00:14

(x, y, z) = ((a+rcosφ)cosθ, (a+rcosφ)sinθ, rsinφ) (θ=0～2π, φ=0～2π, r = 0～R)

とすると、体積素 = (a+rcosφ)r dθdφdr

なので、体積 = ∫(a+rcosφ)rdrdφdθ(θ=0～2π, φ=0～2π, r = 0～R) = 2π^2aR^2

a=2, R=1 とすると　4π^2

だと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
しかし、高等数学をしっかり学んでいないので、立体空間における偏角表示について不案内です。すみません。

お礼日時：2012/06/15 11:49