正多面体

立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨにおいて、一つおきに頂点を結ぶと、正４面体ＢＤＥＧを作ることができる。さらに、この正４面体の各辺の中点を結ぶと、正４面体に内接する正８面体を作ることができる。

・正８面体の対角線の長さは立方体の１辺の長さと等しい。
・一般に、正８面体の対角線の長さをaとおくと、その体積はa^3/6となる。

この２つを導出したいのですが、どうやったらいいのでしょうか。何かヒントをいただけないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： corp 回答日時： 2005/04/08 11:18

こんにちは。

問題をみて、本当にそうなるのかなぁ。。。と計算してみましたが、確かになりました。
ヒントをという事ですので、回答はしません。

(1)正８面体の対角線の長さは立方体の１辺の長さと等しい。
＜ヒント＞
まずは、設問どおりの立体図形を描いてみることです。表現される図形は、正方形・直角三角形・正三角形しかありませんので、各種辺の長さは図から簡単に求められます。

(2)一般に、正８面体の対角線の長さをaとおくと、その体積はa^3/6となる。
＜ヒント＞
文章で説明するのは、少し難しいのですが。。。
まず、立方体の一辺がaとなることから、立方体の体積=a^3。
正四面体の体積は、立方体から余分な三角錐を4つ取り出す事で求めます。（正四面体の体積=a^3/3）
次に、正八面体の体積は、正四面体から余分な正四面体（もとの正四面体の1/8の体積）を４つ取り出すことで求めます。
三角錐の体積公式や、相似図形の体積比について考える問題です。

ある程度、見通しのよい図を描くことが鍵です。

この回答へのお礼

(2)は苦戦しました。僕が図を描くと汚くなるので（笑）
＞次に、正八面体の体積は、正四面体から余分な正四面体（もとの正四面体の1/8の体積）を４つ取り出すことで求めます。
この発想にもっていけなかったんです。図を必死でかいて理解しました。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/10 14:44

No.1 回答者： noname#14584 回答日時： 2005/04/08 11:11

・正８面体の対角線の長さは立方体の１辺の長さと等しい。

（ヒント）
正8面体の頂点は立方体のどこにあるでしょうか．平行な平面同士の距離を考えてみてください．

・一般に、正８面体の対角線の長さをaとおくと、その体積はa^3/6となる。
（ヒント）
立方体を各辺の長さを半分にした8つの小立方体に分割してみましょう．すると，正8面体はどのように分割されるでしょうか．

この回答へのお礼

＞正8面体の頂点は立方体のどこにあるでしょうか．平行な平面同士の距離を考えてみてください．

たとえばPとEGの中点を結べばいいわけですね。
それぞれ上面、底面の中心にあるので。

お礼日時：2005/04/10 14:43