同じ大きさの立方体を積み上げていて、3×4×5の直方体(縦が3、横が5、高さが4)を作って、頂点から

同じ大きさの立方体を積み上げていて、3×4×5の直方体(縦が3、横が5、高さが4)を作って、頂点から頂点(1番左上から1番右下みたいな感じ)への、直方体の対角線は何個の立方体を通過するでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/13 22:40

y=(4/5) x

　　z =(3/5)x
　　0≦x≦5
という直線ですから、
　　xが整数になるのは
　　x = 0〜5
のときの6箇所。図の白丸です。
　　yが整数になるのは
　　x = (5/4)n (n=0〜4)
のときの5箇所。図の赤丸です。
　　zが整数になるのは
　　x = (5/3)m (m=0〜3)
のときの4箇所。図の青丸です。
　横軸x, 縦軸yの図(上）において、赤丸と白丸が一致するのは両端だけ。4と5が互いに素だからですね。
　横軸x, 縦軸zの図(下）において、青丸と白丸が一致するのは両端だけ。3と5が互いに素だからですね。
　そして、上の図の赤丸を下の図に写したもの（下の図のフチなしの赤丸）が青丸と一致するのも両端だけ。3と4が互いに素だからですね。

　さて、下の図でナナメの線がいくつの断片に分割されたかをかぞえてもいいし、両端を除いて、白丸4個+赤丸3箇所+青丸2箇所の合計9箇所で線を分割したのだと考えてもよくて、答は「10個に分割された」。これが通過した立方体の数、というわけです。

　なお、「互いに素」ではない場合には、両端以外でも色の違う丸が同じところに来ることが生じる。そのぶん、分割の数が減る（=長さ0の断片ができるからカウントしない）わけですから、幾つが重なるか（3種類とも重なるということもある）、ということを数えれば良いとわかります。3種類とも重なることが生じる場合には、直方体を合同な小さい直方体に分割できる、ってことです。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/15 14:03

なんか反応がないな。

じゃあ、立方体が140×90×60個というのでやってみましょ。

[1] これらの数をどれも割り切る最大の整数（つまり最大公約数）は10ですから、「14×9×6個」という問題を解いてその答を10倍すればいい、ということがわかります。
[2] No.2のようにして、対角線の両端を除いて(14 - 1)個の白丸、(9 - 1)個の赤丸、(6 - 1)個の青丸、合計26個の丸が描けるから、対角線は26+1=27個の断片に分割される。でも、それらの断片のうちには長さ0の断片も含まれているかも知れないんで、こいつらを除外しなくてはならない。
[3] 最初に公約数10で割り算したので、白丸・赤丸・青丸が全部同じところに重なるのは対角線の両端だけになっています。なので「両端以外において、白丸・赤丸の重なり、赤丸・青丸の重なり、白丸・青丸の重なりがそれぞれいくつあるか」を数えれば、それが長さ0の断片の個数です。
　14と9は互いに素なので、白丸・赤丸の重なるところはありません。
　9と6の最大公約数は3なので、3 - 1 = 2箇所で赤丸・青丸の重なりが生じます。
　14と6の最大公約数は2なので、2 - 1 = 1箇所で白丸・青丸の重なりが生じます。
　ですから、長さ0の断片は合計3個ある。
[4] 以上から、「14×9×6個」の場合について、27 - 3 = 24個の（長さ0ではない）断片ができるとわかる。
[5] 従って、「140×90×60個」では240個の（長さ0ではない）断片ができる。すなわち、「240個の立方体を通過する」という答が得られます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

このシーズンは忙しくて、質問はしたものの確認できず申し訳ありません。回答の内容は、すごく分かりやすかったです。本当にありがとうございました。また類題での解説もよく分かりました。

お礼日時：2023/03/16 00:07

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/13 19:22

10個。

3×5の長方形が正面に見える(×4は奥行き)の視点で見て、
一番手前の層で2個、二番目の層で３個の小立方体を通過します。