隙間がない図形パターン

同じ図形または複数の平面図形で隙間なく配置できるパターンを全て知りたいです

例えば１番一般的なのは正方形ですがこのほかにも正三角形や正六角形などがあると思います
また六芒星　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AD%E8%8A%92% …
なども隙間なく配置できると思います

いろいろなパターンが知りたいのですが
そのようなサイトなどあれば教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： stuff_ppo 回答日時： 2010/11/25 23:44

すべての三角形、四角形は平面を埋め尽くす事ができますし、

これを応用する事で無限のパターンを作り出す事ができます。

平面充填 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E9%9D%A2% …


多角形に限らなければ、
エッシャーという画家が、
鳥や魚をモチーフにした美しい絵画をたくさん残しています。

escher tessellation - Google 検索
http://www.google.co.jp/images?hl=ja&lr=lang_ja& …


エッシャーは、昇り続ける階段など、だまし絵でも有名ですね。

No.3 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/11/25 23:59

パターンは無限にあります。

No. 1の方が示されているWikipediaの項目をご覧になるとそのことがおわかりになるかと思います。

パターンの個数は無限個ありますが、(同じ図形を敷き詰めるということに限れば)それらを分類することは可能です。

例えば、正方形を敷き詰めたものパターンを考えます。正方形の1辺の長さだけ、辺に沿ってずらすと、元のパターンと重なりますね。この性質を並進対称性があると言います。同じ図形を隙間なく敷き詰めたパターンには、並進対称性があることは分かりますね。

次に、ある正方形の中心に着目して、その点を中心に1/4回転してみます。これも元のパターンに重なりますね。このように、適当な角度だけ回すと元のパターンに重なる性質を回転対称性があると言います。並進対称性と両立できるのは、1/2, 1/3, 1/4, 1/6回転して元のパターンに重なるときだけです。

このような「対称性」に着目して図形を分類すると、隙間なく敷き詰めたパターンは17種類に分類できることが知られています。17種類ということの証明は20世紀になってから行われたそうですが(群論という数学を用います)、古代エジプトの装飾はその17種類全てを網羅していたそうですよ。

No.1 回答者： Ginzang 回答日時： 2010/11/25 23:27

いわゆる平面充填の問題だろう。

とりあえず、Wikipediaの「平面充填」の項も見てみたら。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E9%9D%A2% …