『４色問題⓵』

４色問題は知る人ぞ知る難問で、今さらですが簡単に説明すると、地図上の隣り合う国を異なる色にする条件で塗り分けるのに、４色あればよいかという問題です。その通り、４色あればよいという結果が得られていますが、現在は実証段階で論証はされていません。
ここで一つ疑問があります。国を〇で、その中に入れる番号１、２…で色を表し、国と国が隣り合う状態を線で結ぶこととする表現方法で地図を作製していくと、４色必要な状態では必ず１色が他の３色国で取り囲まれ、５色目を必要とするように、外部に国の〇を置いて①、②、③、④全部と線で結ぼうとしてもどれか1色国との結合は阻まれてしまう。単純な例でいうと、①が②、③、④の３色国を頂点とする三角形の中にあり、①は３色国それぞれと、②、③、④も互いに線で結ばれて(＝隣接して)いる形です。当然、①は②、③、④が互いに結び合っている線で外部の接触から阻まれている。そして、このパターンは４色必要な状態では必ず出現する。だから、４色定理は成り立つ。
とはできないわけでしょう？何故か？
一つは、この方法で全ての平面上の地図を作製できるかどうか、証明されていないということが考えられます。恐らく可能でしょうが…。もう一つは、可能だったとしても、この方法というか手順でも、上記のパターンに必ずなるかどうか、やはり、証明が難しいということも考えられます。
この推定で合っているのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• １９７０年代にコンピュータを使って証明されたことは知っておりますが、このときも、エレファントな証明と皮肉る数学者もいたようです。つまり、あり得るパターンを虱潰しに調べたら、そうなっていたということで、どのような性質がそれを保証しているかはわからない。そしてそれは現在もそうだということです。もっとも、調べねばならないパターンの数は４００種類かそこらまで減ったということだったと思いますが。疑問にしているのは、理論的に証明できていないという事実なのですよ。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/10/25 12:28

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/27 21:08

図の?の所は

赤,青,黄,緑の4色と隣り合っているため
5色必要となる
この5色を4色にする手順が常に存在する事を証明できますか?

No.8 回答者： masa2211 回答日時： 2022/10/25 19:06

質問文のようなやり方で実際に証明しようとした試みがあって、

ケンプ（ケンペ）鎖を使う方法。

この方法で４色問題は解決、としばらくの間は考えられていたが、この方法では解決できないパターンが発見され、最終的にはコンピュータの力技に至る。
https://school.gifu-net.ed.jp/ena-hs/ssh/H24ssh/ …

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/10/30 14:38

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/25 17:18

では#2の方の問いに答えて下さい

図は
赤,青,緑,黄,と1番外側の白
の5色に塗られているのです

この5色を4色にする手順が常に存在する事を証明できますか?

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/25 13:46

＞ １色の国が塗り分けに３色必要な国々に取り囲まれているとは限らない

＞ ということなのですね。

その「塗り分けに３色必要な国々」が３色必要であることを定めるのは、
その国々の更に周囲の国々です。
周囲の国々から３色必要であることを定めるパターンが非常に沢山あって、
その全てをチェックしなければならないからコンピュータが必要だった
という話なんですけどね。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/24 21:30

図は#2の方と同様に4色必要な状態だけれども

そのパターンは出現していません
4色定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E8%89%B2 …
に書いてある通り
四色定理の証明法は次の2段階に分けられる。
1.どのような平面グラフをとってきても、
その集合に属するグラフのどれか一つが部分グラフとして含まれるグラフの集合を考える。
このような性質をもつグラフの集合を不可避集合という。
2.不可避集合をうまく選ぶと、それに属するどのグラフも次の意味で可約にできる。
すなわち、その部分グラフを含むグラフがあったとき、
その部分グラフを除いたものが4色で塗り分けが可能ならば、
グラフ全体も4色で塗り分けができる。
…

この回答へのお礼

ありがとうございます。一つだけ補足を。
質問に出したパターンというのは、例えば、①の色の国を、塗り分けに必要とするのに３種類の色が必要な国々が取り囲んでいるという意味で、３つの国で取り囲んでいるという意味ではありません。もし、あなたがこう考えているとしたらですが…。
確かに、改めて読み直すと、誤解を与える文章になっていました。以後、気を付けます。

お礼日時：2022/10/25 12:22

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2022/10/24 17:41

四色問題って既に正しい事が定理として証明されてますが。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/24 13:35

＞ 何故か？

例のアッぺルとハーケンの証明も
「このパターンは４色必要な状態では必ず出現する。
だから、４色定理は成り立つ。」という筋書きだけれど、
必ず出現する「パターン」が1個に特定できず
かなり大きな集合(1400パターンくらいだっけ？)になったため、
全てのパターンが４色で塗れることを確認するのに
コンピュータでの作業が必要でした。
あなたの「単純な例」が、４色必要な状態では必ず出現する
ことを証明できますか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。それで、貴殿が指摘されているのは、推定で言った１色の国が塗り分けに３色必要な国々に取り囲まれているとは限らないということなのですね。

お礼日時：2022/10/25 12:32

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/10/24 10:43

例えば、下図のような場合は？

もちろん色を一部交換すれば5色にならずに済むのだけど
その手順が常に存在することを証明できますか？

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/10/24 08:25

>現在は実証段階で論証はされていません。

実証と論証がなんだかよくわからないけど
アッぺルとハーケンの証明は
認めないということなんだろうか?