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正方形に、正方形の一辺を半径とする円を、正方形の各頂点を中心として、4っつ書きます。この時、中央にできる、膨らんだ正方形に似た感じの面積を求めよ。
この問題、実は小学生に解けて、大学生には解けないと言われている問題です。この問題どう解きますか?自分は正解知りません。

A 回答 (8件)

真ん中の◇(?)をA、4すみの三角(?)をB、4辺にくっついている薄っぺらい三角(?)をCとします。



A+3B+2C が円の1/4ですね。

四角形はA+4B+4C  ですね。

またこの四角形は 4つの1/4円-3A-2×4Bですね。(図の重なり具合を考えてください。)

こんな感じで考えれば、私立中学のお受験でがんばっている小学生なら解けます。

がんばってみてください。
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正方形の1辺をxとして


{(3-3√3)x^2 + πx}/3
という式に到達しました。
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解法はおおむね2パターンあります。


ウィキペディア>算数>受験算数の平面図形>膨四角形

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/a/a6/Bo …
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/e/ef/Bo …

参考URL:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/a/a6/Bo …
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銀杏型の部分を求めて4倍して正方形から引きます

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やり方はいろいろあるんでしょうが、中3ぐらいでないと無理じゃあないでしょうか。



正方形の1辺を2aとします。
円の交点4つを順に結んで、四角形(正方形)をかけば、求める面積は、その正方形の面積と、小さな弓形4つの面積を合わせたものです。そして、その弓形部分の1つは、中心角30°、半径が2aの扇形の面積から頂角30°、等しい辺が2aの二等辺三角形の面積を引けば求められます。
扇形は4a^2π×(1/12)=a^2π/3。
二等辺三角形は中3でやる辺の比2:1:√3を利用して、a^2。
4つの交点を結んでできた正方形は、比と三平方から、4a^2(2-√3)。

よって、求める面積は、4(a^2π/3-a^2)+4a^2(2-√3)
整理して、(1-√3+π/3)×4a^2。
(はじめの正方形の面積の、(1-√3+π/3)倍になるということです)
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まず、√が登場するので小学生の算数の範囲では無理です。


また、積分を使えば簡単なので、大学生なら当然解けます。

正方形(今、1辺の長さを10とします)の頂点に関し、左上、左下、右下、右上の順にA,B,C,Dとする。
面積を求めたい部分(膨らんだ正方形に似た感じの図形)の上の頂点をE、右の頂点をFとする。
(ポイントは、三角形EBCは正三角形になることと、∠EBC=60°なので扇形ABEの中心角が30°になることの2つを利用することです)

ステップ1:
図形AEDの面積 = 正方形ABCD - 三角形EBC - 扇形ABE*2
=10^2 - (1/2)*10*5√3 - π*10^2*(30/360)*2
=100-25√3-(50/3)π

ステップ2:
図形DEFの面積 = 正方形ABCD - 扇形ABC - 図形AED*2
=10^2 - π*10^2*(1/4) - 2{100-25√3-(50/3)π}
=-100+50√3+(25/3)π

ステップ3:
求めたい面積 = 正方形ABCD - 図形AED*4 - 図形DEF*4
=10^2 - 4{100-25√3-(50/3)π} - 4{-100+50√3+(25/3)π}
=100-100√3+(100/3)π
(約31.5)
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A2です  すみません 訂正です



<<またこの四角形は 4つの1/4円-3A-2×4Bですね。(図の重なり具合を考えてください。)>>

の箇所、


すみません <4つの1/4円-3A-4B>

ですかね
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ひとつだけ確認させてください。


実は私もまったくわかりませんが、
そのご質問にある「図」が「右」に書いてあるのに、
問題文では「左の図の…」となっていて、
正解は「左の図なんてない」
という類の問題ではないですよね?

解き方はこれから真剣に考えて見ますが、念のための確認でした。
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