立体の切断の問題です

子供の中学受験の勉強中ですが、どうしてもイメージがわかず（1）（2）共分かり易く教えて頂けないでしょうか。宜しくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/03 14:32

立体の切断を考えるとき、立体を箱のすみに置いて箱ごと切るイメージが助けになることがあります。

助けになるのは、箱の角を切り落とすと、切り口は三角形で、箱の３つの面も切り取られるのが三角形になるところです。
このイメージを言い換えると、１点から３方向に線を延長してその線が切断されるようにするということです。

そのとき

・平面と平面（切断面）の交わりは直線である。（これを交線とよぶ）
・２点を通る直線はただ一つである。

なので、ある平面上に切断面と共有する２点を得たならその２点を通る直線が交線である、ということは押さえておきます。


私は立方体を２つ積み重ねた直方体と、立方体の半分（その両側につけた）の３つの部分に分けて考えました。

大きいほうの体積は、直方体の半分と、立方体の半分（切られずそのまま）と、残りは三角すいと三角すいの組み合わせでできています。
なぜ大きいかは、半分こより多めに取ってるからです。

No.4 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/01/03 16:16

（１）　例えば、

２つ重ねた立方体の場合（図①）赤線が切り口の図形になりますが、
これは、図②のように展開図で考えればよいと思います。
直線ＡＢ（Ａ－Ｂ－Ｈ）と直線ＡＣ（Ａ－Ｃ－Ｈ）を引くと、それが、切り口の線になります。
それをもとの立方体に直せば切り口の図形がわかります。

問題の立体を展開すると、（図③の水色部分は切り口には関係ないので、省略しています）
図④になります。
図②と同じように直線ＡＢ（Ａ－Ｂ－ＪＫの中点）と直線ＡＣ（Ａ－Ｃ－ＪＫの中点）を引いて、切り口の線をつくり、
それをもとの立体に直せば、図⑤のようになります。

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/01/02 19:44

Aを頂点とする一辺が4cmの立方体の切り口を考える。

すると、その中には一辺が2cmの立方体が８つできるでしょう。
そのうち、ABCのある立方体の真下の立方体の切り口がどうかを考えてみて下さい。

この立方体の問題が頻出であるなら、厚紙で立方体を作ってみて、色々研究してみて下さい。
百聞は一見にしかず。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/01/02 19:18

この問題では、切るのは「上に乗った立方体」だけではなく、下の「立方体2個」まで貫いて切ると解釈するのが妥当でしょう。

　上の立方体の断面が「三角形」になることはよいですね？

　では下の「立方体2個」の部分の断面はどうなるでしょうか？
　下が「立方体2個」と考えると少し複雑そうですが、断面は「上の立方体の真下に、同じ立方体がある」と考えても同じだ、ということに気付けば簡単です。
　つまり、「立方体2個をくっつけた直方体を、その対角線で切断する」と考えればよいのです。

　そうすれば、下記のように求まると思います。

（１）切り口の形は「ひし形」になります。

（２）右側に切り取られる部分の体積は、
①左から 3cm の部分で、上の直方体の右側の面と同一面になる部分で切り取ると、右側の切り取られた部分の体積は
　　2cm × 2cm × 1cm = 4 cm^3

②残った部分から、「立方体2個をくっつけた直方体を、その対角線で1/2に切断する」と考えて、切り取られる部分の体積は
　　2cm × 2cm × 4cm × 1/2 = 8 cm^3

から、
　　4 + 8 = 12 cm^3 　　　（Ａ）
となります。

　一方、もともとの全体の体積は、立方体3個分で
　　2cm × 2cm × 2cm × 3 = 24 cm^3　　　（Ｂ）
です。

　以上から、求める答えは、（Ｂ）-（Ａ）で
　　24 - 12 = 12 cm^3
となり、要するに「全体の体積を 1/2 に切断した」ことが分かります。