球に関する問題

AB=AC=AD=6,BC=CD=DB=6√2である三角錐ABCDに内接する球の半径を求めよ。

という問題なんですが、球の半径を出すには三角錐ABCDの体積が必要かと思うんですが、それを求めるプロセスと、体積を出してからどうやって半径を求めればよいか、教えてくださいm(_ _)m

ちなみに答えは3-√3です。よろしくおねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/10/31 14:55

側面の三角形（ΔABC,ΔACD,ΔABD）の辺の比が

６：６：６√2＝１：１：√2なので
直角二等辺三角形です。
∠BAC=∠CAD=∠BAD=90°なのでΔACD（平面ACD）に対して辺ABは垂直です。
従って、三角錐ABCDの体積Vは

V=ΔACD*AB/3=(AC*AD/2)*AB/3=(AB^3)/6=6^3/6=36 …(■)

またこの体積Vは
#1さんが書かれてかれている内接球の半径rと体積Vの公式

V=rS/3　…（●)

を使えばいいですね。
全表面積Sは

S=ΔACD*3 + △BCD
=(AC*AD/2)*3 + (√3)(CD^2)/4
=(36/2)*3+ (√3)*(36*2)/4
=18(3+√3)

このSと(■)のVを(●）の式に代入すれば
内接球の半径rが求まります。
分母の有理化を行えば、答えの「3-√3」にたどりつける
でしょう。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2009/10/31 11:45

辺BCの中点をE、正三角形BCDの重心をFとします。

頂点Aと直線DFEを通る平面で三角錐を切ったときの断面を考えると、
内接する球の断面は、中心がAF上にあってAEに接する円になります。
AE=3√2、EF=√6、AF=2√3
球の半径をxとすると、
(3√2-√6)^2+x^2=(2√3-x)^2
が成り立ちます。
これを解けば、x=3-√3

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/10/31 01:59

三角錐の体積を V, 内接球の半径を r, 4面の面積の総和を S とすると V = (1/3)rS です. この式の導出は三角形における内接円の半径の求め方と同じ.

で体積ですが, これは三角錐をどのように捉えるかで求め方が変わります. AB=AC=AD, BC=CD=DB=√2AB に気付けば, 体積が 36 になることは容易にわかります.