位置エネルギー 積分

物理で位置エネルギーを求める際に積分を用いて説明されました
積分はグラフ上の面積を求めるものだと解釈していますが、違うんでしょうか
そもそも積分のあの計算をすることでなぜ面積が求まるのかもわかっていません

No.5 ベストアンサー 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/06/04 16:28

>積分はグラフ上の面積を求めるものだと解釈していますが、違うんでしょうか

そのとおりです。

＞そもそも積分のあの計算をすることでなぜ面積が求まるのかもわかっていません

それは残念ですね。理解するなら、グラフを縦の短冊に分割して、細長い長方形に対して、面積の公式を適用し、それを極限にすることで導かれるのですが・・・ひとまず数学上のテクニックとして、グラフ（関数ｙ＝ｆ（ｘ）を、ｘで積分すると、ｙのグラフの面積を計算することになる・・・と覚えているだけでも差し支えありません。面積を計算するテクニックが積分だ・・・と考えてもOKです。

ここまでは数学の話です。

＞物理で位置エネルギーを求める際に積分を用いて説明されました。

これは物理の話。物理は、数学を使って現実を記述する学問です。位置エネルギーは、力と距離で与えた仕事の分変化する・・・ので、

ｙ＝ｆ（ｘ)で、ｙが力、ｘが距離になっている場合、その積分によって計算した面積が、与えた仕事の合計になり、その分位置エネルギーが変化したってことにもなります。

この回答へのお礼

理解出来ました
ありがとうございます

お礼日時：2022/06/04 18:30

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/04 15:33

>積分はグラフ上の面積を求めるものだと解釈していますが、

>違うんでしょうか

そのグラフの面積がエネルギーを「表す」のだけど
まずそこは分っているのだろうか？

もし、

面積がエネルギーになるはずない

とか考えているなら、それは酷い考え違いだ。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/03 19:00

y=f(x)の曲線グラフの面積に

等間隔にとてもたくさんの縦線を入れますと
縦線の間隔は非常に小さくなるので
分割された図形は縦長のほぼ長方形とみなせます
この横幅を、とても小さいと言う意味のdを用いて
dxとすると
縦長の長方形の一個の面積
＝縦×横
＝f(x)dx
です
こういう縦長の長方形が、該当の区間にはたくさんあるわけですが
それをすべてたせば、求めるべきグラフの面積になるわけです
そこで、和の記号である
∫
を用いて、縦長の長方形の面積の和を表したのが
∫f(x)dx
(積分区間省略)
と言うことです

位置エネでも同じこと
縦方向にhだけ上昇するとき
上昇を超細かく分割して
dhずつ上昇するとします
それだけ引き上げる力は
重力に等しく上向きの力だから
引き上げの力がする仕事は
力×移動距離＝Ｍgdh
細かく分割された引き上げの仕事の総和は
やはり和の記号∫を用いて
引き上げの総仕事
＝∫Ｍgdh(積分区間0〜h)
となるわけです
された仕事が、物体の位置エネとして蓄えられると言うわけです

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/06/03 18:50

積分の基本の「短冊切り」はやりませんでしたか？

正式には「区分求積法」かな。こんなやつ。
↓
https://hiraocafe.com/note/kubunkyuseki.html
https://manabitimes.jp/math/1545

エネルギーは、その定義から「力」と「動かした距離」の積です。
そのときに「力」が一定ならば「長方形の面積」（直線で囲まれた面積）で済みますが、力が変化しているときには「曲線で囲まれた面積」を求めないといけません。

「加速度」と「速度」の関係も、高校物理では「定加速度」（加速度一定）しかやりませんが（「加速度 × 時間」で速度（変化分）が求まる）、一般の「加速度が時間とともに変化する」ときには「加速度曲線」を積分しないといけません。

そもそもが、変化するものの
・「変化率」（どのように変化しているか）を求めるのが微分
・積算値、合計値を求めるのが積分
ということです。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2022/06/03 18:36

と言うより「面積を求めるための操作を積分と言う」と言った方が正しいでしょう。

不規則な形の図形の面積を求める方法として現在で言う定積分が発明されました。そしてその後に(現在の表現を用いれば)「原始関数を微分すると微分する前の関数になる」と言う事が定理として証明され、そして現在の数学教育では「積分とは微分の逆演算」と言う定義から入るようになっています。