ベクトル解析 面積分とは結局何なのか？

ベクトル解析　面積分とは結局何なのか？を知りたいです。つまり面積分が何を表しているのか根本的なことが分かっていません。

例題を紹介させていただきます。
　
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ttp://get.secret.jp/pt/file/1590560773.jpg

この例題６７を見ていただきたいのですが、空間座標で示された図があります。この平面Sとⅹ軸、y軸、z軸との交点をそれぞれX(1,0,0)、Y(0,1,0)、Z(0,0√2)とすると、△XYZの面積が面積分の値でしょうか？いえ違います。この△XYZの面積は√2/5になります。一方この例題の答えは1/36です。全然違いますよね。この図を見て、どこの値が1/36なのか考えてますが、分かりません。あるいは平面Sの点をf(x,y,z)=√10x^2yzと言う関数で変換した値をすべて足したもの(積分したもの)ということでしょうか？

面積分の動画を観ますと、あたかも空間内の曲面の面積が面積分であるかのように説明されてますが、この例題ではそうではないようです。

もう一つ分からない点は、この２重積分を実際に計算する際にyで積分する範囲を0～(1-x)にしてますが、なぜ1-xが出てくるのか分かりません。Xを固定して、y軸方向に0～(1-x)まで積分して…..と、いろいろ考えてますが、どうしてもわかりません。これもそもそも面積分を分かってない所以だと思います。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/28 10:42

面積積分の意味は分かってますか？

積分領域(この場合 3点を通る3角形) を細かな微小面積 ΔS に分割し
ΣfΔS
を求めること。

ΔS を積分するとたしかに √(2)/5 だけど
求めるのは fΔS の積分だよね。
これは f の内容で変わるから図からわかるわけがない。

2重積分する際、積分領域の x-y 平面上への射影(積分領域)が正方形じゃなくて3角形
なんだから、そうなるように x に対する y の積分範囲を求めて積分しなければ駄目です。

この回答へのお礼

質問することで面積分の意味が分かってきました。被積分関数ｆによって置き換えられたfΔSの積分であるため、図から計算で求められるものではないこと理解できました。第一たかだか三角形の面積を求めるのに大げさに二重積分なんか使うわけないし。
0≦y≦(1-x)で、yで積分するのは、ΔSをあるxについてy軸方向に０→1-ｘまで足し合わせ(これで、あるxの時のΔSの総和がy方向に一列に求まる),そのy方向の列をxについて0→1まで足し合わせる、これでx,yについて積分ができる、ということだと思います。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2020/05/30 20:41

No.1 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2020/05/28 05:11

> この図を見て、どこの値が1/36なのか考えてますが、分かりません。

　当たり前です。最も素朴な面積分である2重積分ならスカラー場（xy平面）に設定された領域と曲面を表す被積分関数に挟まれた体積になりますが、この問題の場合被積分関数自体が f(x,y,z) = √(10)x^2yz という4次元空間における3次元曲面のようなものですから、目で見ることはできません。
　面積分の問題は定義にしたがってひたすらシコシコ計算すればいいのです（笑）。

この回答へのお礼

被積分関数によって置き換えられてしまうから、図形から直感的に分からないことは理解できました。練習問題をこなした、慣れた後に考えるとよいのかもしれません。回答ありがとうございます。

お礼日時：2020/05/30 20:18