線積分、面積分とは何？

現在、大学でベクトル解析を学んでいます。
そこで、線積分や面積分といったものがでてきたのですが、計算方法はわかったのですが、何を求めているのかが
今ひとつ分かりません。
　線積分とは、定点から、線分のある点に向かう
ベクトルとそのある点における値を掛けたものを線分上の
全ての点において足し合わせたもの、面積分とはある点における面素とその点における法線を掛けたものを面上の全ての点において足し合わせたもの
　と解釈しているのですが、やはり、どこの値がでてきているのかが今ひとつ分かりません。また、これを求めることによりどんな利点があるのでしょうか？力学や電磁気等を理解するには必須みたいですが・・・。
　よろしければ、回答お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： graduate_student 回答日時： 2004/09/03 14:01

積分といえば単純に体積を求めたり、面積を求めたりするもの、と考えている人が少なからずいると思いますが、それだけではありません。

高校の最後の方で学んでいるはずですが、道のりや速さなどありとあらゆるものを計算することもできます。

一言で言えば、積分とは「(無限小に)細かくわけて足し算すること。」に他なりません。

こういった視点からみてみますと、線積分とは「なにがしかの線を細かく分けて調べ、それをすべて足し合わせることによってその線全体の性質を調べること」を意味します。

例えば、「太さが一定でなく、とある関数であらわされているような紐の重さを計算する」というのが一つの例になるでしょう。

一方、面積分とは同じように書くならば、「何がしかの曲面を細かく分けて調べ、その量をすべて足し合わせることによって面全体の性質を調べること」になります。

例としては、日本全体の人口密度分布が分かっているときに、日本全体の人口を求めること、や、地価の分布が何らかの関数であらわされているとき、その地方の土地の値段の総量を求めるような計算が面積分です。

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以上のようだそうです.

この回答へのお礼

＞＞積分といえば単純に体積を求めたり、面積を求めたりするもの、と考えている人が少なからずいると思いますが、それだけではありません。高校の最後の方で学んでいるはずですが、道のりや速さなどありとあらゆるものを計算することもできます。

私もその一人ですね。

＞＞例えば、「太さが一定でなく、とある関数であらわされているような紐の重さを計算する」というのが一つの例になるでしょう。
一方、面積分とは同じように書くならば、「何がしかの曲面を細かく分けて調べ、その量をすべて足し合わせることによって面全体の性質を調べること」になります。

例としては、日本全体の人口密度分布が分かっているときに、日本全体の人口を求めること、や、地価の分布が何らかの関数であらわされているとき、その地方の土地の値段の総量を求めるような計算が面積分です。

具体的な例を掲示して頂きありがとうございます。何となくですが応用例が分かった気がします。

お答えして頂いた皆様にポイントを差し上げたいのですが、ルールにより２名までしか差し上げることができないので、今回は先着順にポイントを差し上げたいと思います。皆様のお答えは非常に参考になりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2004/09/07 20:29

No.5 回答者： bluemoon1120 回答日時： 2004/09/04 23:53

ベクトル解析を勉強していく上で大事なのは『場』の概念です。

「場」とは空間中の点を指定すれば”値”が決まるような量のことです。
場にはスカラー場とベクトル場があります。

・スカラー場とはその値がスカラーである場のこと　例えば
三次元空間でそれぞれの点における「気温」など

・ベクトル場とは値がベクトルである場のこと
例えば
三次元空間でそれぞれの点における「風」の方向ベクトルなど

です。その場の上で行う積分は

○ベクトル場Ｆの曲線Ｃにそった線積分とは

・Ｆが力ならば、曲線Ｃに沿ってした仕事の総和
（仕事＝力・動かされた距離より）

・Ｆが水の速度ベクトルならば、曲線Ｃに沿って流れ出した水の総量。

○ベクトル場Ｆの、曲面Ｓに沿った積分とは

・Ｆが水の速度ベクトルならば、曲面Ｓを通過した水の体積。

詳しくは岩波の「キーポイントベクトル解析」という本を読むと良く解ると思います。

これからストークスやガウスの定理も出てきてややこしくなってくると思うのでしっかりがんばってください。

参考URL：http://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/isearch?isbn=IS …

この回答へのお礼

＞＞ベクトル解析を勉強していく上で大事なのは『場』の概念です。

はい、電磁気学で痛感しています。

＞＞○ベクトル場Ｆの曲線Ｃにそった線積分とは

・Ｆが力ならば、曲線Ｃに沿ってした仕事の総和
（仕事＝力・動かされた距離より）

以前、力学で学んだ事がありますが、その時はベクトル解析はおろか、微積分もあまり勉強していなかった為に
さっぱり意味が分かりませんでした。が、ベクトル解析を学べば分かりそうな気がするので頑張って生きたいと思います。

参考URLで紹介して頂いた本も書店で見付けたら一読み
してみたいと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2004/09/08 00:48

No.4 回答者： cozycube1 回答日時： 2004/09/03 23:46

ひとつの考え方ですが、

線積分：
　ある道を歩いていくとき、風に逆らったり、上り下りしながら歩いていく。そのときどきで踏ん張ったり、楽に歩いたりできます。で、歩き終わったときの、疲れ方の程度を求めるものである、と。

面積分：
　線積分の応用。ある地域をくまなく踏破したときの疲れ方の程度を考えるということ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
一見、あまり線積分、面積分と関係なさそうですが、発想の転換でこういった捉えかたもできるのですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2004/09/08 00:41

No.3 回答者： nabla 回答日時： 2004/09/03 17:53

こんなページはどうでしょう。

最後の方にベクトル解析についての記事があります。

ただ、面積分のところが若干弱いので補足しておきます。

面積分とは例えば川の中にある曲面を考えてその曲面を貫く単位時間あたりの水の量を求めるのに使ったりします。
どういうことかというと水の流量をあらわすベクトルをＶとします。

このＶというベクトルを面の微少な部分に垂直な成分と平行な成分に分けます。
このとき面に垂直な成分だけが面を通り抜けて、面に平行な成分は面を通り抜けることはありません。
つまりこのときＶと面積要素の内積は微少な面を単位時間に通過する水の量をあらわします。
それを全面にわたって足しあわせたものが面積分となっています。

参考URL：http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Poplar/2391 …

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
面積分のおおよその意味をとらえる事ができたような気がします。また、参考URLを参照させて頂いたのですが、電磁気学を学ぶための読み物として役立ちそうです。ありがとうございました。

お礼日時：2004/09/08 00:38

No.2 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2004/09/03 14:39

簡単な例で言えば、平面上の関数と曲線が与えられていてその曲線上の線積分は関数と曲線に挟まれてできる曲面（平面に垂直）の面積を表しています。

また曲面上の関数を曲面上で面積分したものはその関数と曲面で挟まれてできる立体の体積を表しています。このくらいの感じをつかんでおけばいろんな積分の理解の助けになるかもしれませんがどうでしょうか。

この回答へのお礼

お答えありがとうございます。う～ん。何となく分かったような気が。でも、まだまだ理解できていない部分があると思うんで、勉強してみます。

お答えして頂いた皆様にポイントを差し上げたいのですが、ルールにより２名までしか差し上げることができないので、今回は先着順にポイントを差し上げたいと思います。皆様のお答えは非常に参考になりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2004/09/07 20:35