あのごめんなさい。高校せいの数学だけど、わかりません。例えば円は2変数関数ではないとおもいます。

Question

あのごめんなさい。
高校せいの数学だけど、わかりません。
例えば円は2変数関数ではないとおもいます。
理由は、たとえばx^2+y^2=1という円はxが変数ならとyは±√(1-x^2)できまり、変数ではないからです。(変数はひとつ)
でも、"x,y 平面上の領域Dで定義される連続な2変数関数f（x,y）"という
言葉がありました。 これは、z=f(x,y)として、xとyをそれぞれ自由に動かし、zが0になる
ようにする という意味ですか？

stomachman · Accepted Answer

「方程式f=0で図形Fを表す」というのは方程式f=0の解pの集合
　　F={p | p∈D ∧ f(p)=0 }
を図形とみなす、ということです。ここに、Dはfの定義域で、ですから点p∈Dごとにf(p)の値が決まる。
　平面図形の場合なら、Rを実数全部の集合のことだとして
　　D = R×R
すなわち定義域Dは平面上の点全部の集合であり、個々の点pは実数のペアであるベクトル(x,y)で、そして
　　F={(x,y) | (x,y)∈R×R ∧ f(x,y) = 0}
がf=0に対応する図形です。たとえば
　　f(x,y) = x^2 + y^2 - 1
ならFは単位円の円周。「(1,0)∈Fなのはなぜか。それはf(1,0)=0であり、(1,0)がf=0の解になっているから」というわけです。同様に3次元の図形の場合、
　　D = R×R×R
すなわち義域Dは空間中の点全部の集合であり、個々の点pは実数の3つ組であるベクトル(x,y,z)であり、
　　F={(x,y,z) | (x,y,z)∈R×R×R ∧ f(x,y,z) = 0}
が対応する図形です。たとえば
　　f(x,y,z) = ((|x| + |y| ≦ 1 ∧ 0≦z ∧ z≦1)のとき0, さもなくば1)
という関数の場合なら（もちろん、fは四則演算や初等関数の組み合わせだけに限定されているわけではありません）、Fは正方形を底面とする高さ1の角柱の表面と中身全部の点の集合、ってことですね。

補足にお書きの
> z=f(x,y)
> 体積を考えるお話
というのも、（それだけしか書いてないからわからんですが）要するに
　　h(x,y,z) =  ((...)のとき0, さもなくば1)
という関数について、h=0が表す図形Hの体積、という形に定式化できるわけです。もちろん、h(x,y,z)の(...)の部分には
　　 f(x,y)-z
という3変数関数が現れる。

finalbento · Answer

補足に対してですが、そう言う事であれば「xとyを独立変数として考え、それに伴ってzが決まる」と言う事になるので、質問者様の最初の理解で合っていたと思います。

cf:補足と言うのは基本的には質問を読んで回答しようとしている人全員に向けてのものです。今回補足に書かれた内容は私に向けて書かれたもののようですから、本来は補足ではなくお礼に書くべき内容と思われます。

finalbento · Answer

追記。

質問の最後にあった

z=f(x,y)

ですが、これはxとyが先に書いた独立変数でzが従属変数と言う事になります。すなわち「xとyの変化に伴ってzが決まる」と言う事であって、zが0とは限りません。なお質問文には「xy平面上で定義されるニ変数関数」とあるので、もう一つの座標軸zが関係しているわけではなさそうですから、恐らく質問者様の解釈は間違いだと思います。

finalbento · Answer

本題に入ると、結論から言えば

y=f(x)…①

と言う関数のxもyも変数です。この場合、xは自由に動かせるので「独立変数」と言い、それに対してyの値はxの値に従属して決まるので「従属変数」と言います。それから「一変数関数(変数が一つの関数)」「ニ変数関数(変数が二つの関数)」と言う言い方があります。ここで言う変数とは普通は独立変数の事だと考えて差し支えないでしょうが、質問文にあった「ニ変数関数f(x,y)」と言うのは文脈から見て「独立変数と従属変数両方を含めたもの」と見るべきだと思います。

なお関数には中学や高校で「関数とはこれです」みたいな形で習う①の他に

f(x,y)=0…②

と言う表し方もあります。そして①のような形の式を陽関数、②のような形の式を陰関数と言います。陰関数で表されたものは独立変数と従属変数の見分けはすぐには付かないかもしれません。

PS:「独立変数」「従属変数」と言った言い方は高校では習わないでしょうが、意味はそれほど難しくないと思います。

finalbento · Answer

まず細かい話ですが「円は○○関数」と言う表現は不適切です。「円を表す関数が○○関数」と言う意味で書かれたのだと思いますが、図形を表す数式は方程式(or不等式)であって関数ではありません。そして「円を表す方程式を関数として扱う」と言った場合もある事になります。

方程式も関数も見た目は全く同じですが、方程式に含まれるxやyは未知数(決まった値だけどそれがいくつかは分からない)であって、一方関数に含まれるそれは変数(値が変動する数)であってニュアンスが違います。

ありものがたり · Answer

それは、 z=f(x,y) として、x と y をそれぞれ自由に動かすという意味です。
x と y をそれぞれ自由に動かすと、それにしたがって z も変わります。
z が 0 になるようにするかどうかは、2変数関数 f（x,y） の使いみちしだいです。

あのごめんなさい。 高校せいの数学だけど、わかりません。 例えば円は2変数関数ではないとおもいます。

「方程式f=0で図形Fを表す」というのは方程式f=0の解pの集合

補足に対してですが、そう言う事であれば「xとyを独立変数として考え、それに伴ってzが決まる」と言う事になるので、質問者様の最初の理解で合っていたと思います。

追記。

本題に入ると、結論から言えば

まず細かい話ですが「円は○○関数」と言う表現は不適切です。

それは、 z=f(x,y) として、x と y をそれぞれ自由に動かすという意味です。

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