2009年京都大学（文系）の入試問題・・・微分方程式

整式f(x)と実数Cが

インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　インテグラル（上端1/下端0）(x+y)^2dy = x^2 + C

を満たすとき、このf(x)とCを求めよ。


という問題です。
展開してxを出すと、
インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　x^2インテグラル（上端1/下端0）f(y)dy　+　2xインテグラル（上端1/下端0）yf(y)dy = x^2 + C
となりますが、模範解答ではここから両辺をxで微分しています。
しかし、私はこれを微分方程式として、f(x)をn次式とおいて、解いてみました。

f(x)をn次式とおくと、
（左辺の最高次数）≦　n+1
（右辺の最高字数）=　2
与式はxについての恒等式であるから、（左辺の最高字数）＝（右辺の最高次数）より、
2 ≦ n+1
n ≧ 1
となってしまいます。本当は n ≦ 1となるべきところですよね？

このタイプの微分方程式の問題は以前にも解説をしてもらい、前回質問したときの問題では解決したのですが、
問題が変わり、前回と同じやり方で解こうとすると、このように結果があわなくなってしまいます。

私が解いた方法でどこが間違った答えが出た原因になっているのか教えてください。
数学は苦手なほうなので、詳しめに解説してもらえるとありがたいです。

また他の解き方があれば、そちらも教えてほしいです。
もちろん、メインはどこが間違っているのかという方ですが。

それではよろしくお願いします。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/12 18:25

出典が明記してありますから、

問題の式は、調べれば判るんですよね。
No.2 さんの言うとおりなのかな。
質問文どおりの式で、f を多項式に制限しない
でおくのも、味のある問題だと思うけど。

質問の点については…
左辺第一項が n+1 次、第二項が 2 次なので、
左辺は n+1 と 2 の内の大きいほう以下です。
右辺は 2 次ですから、併せると、
max(n+1,2) ≧ 2。
これは、n+1 ≦ 2 ということですね。

この回答への補足

最後の２行の

max(n+1,2) ≧ 2。

から

これは、n+1 ≦ 2 ということですね。

になる理由がわかりません…
解説お願いします

補足日時：2010/03/12 18:48

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/03/12 15:38

元の問題は

∫[0,x]f(y)dy+∫[0,1](x+y)^2*f(y)dy=x^2+C
のようです＞#1.
だとしても, f が 2次以上になってもうれしくないと思う.
あと f を n次としても
(左辺の最高次数) ≦ n+1
とは限らないことに気づいてる?

この回答への補足

問題の転記ミスでした
ごめんなさい

(左辺の最高次数) ≦ n+1

の部分が間違ってるということですよね？
正しくは不等号の向きが逆ということですか？

その解説をお願いします

補足日時：2010/03/12 18:12

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/12 14:56

>インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　インテグラル（上端1/下端0）(x+y)^2dy = x^2 + C

の左辺を変形した

>インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　x^2インテグラル（上端1/下端0）f(y)dy　+　2xインテグラル（上端1/下端0）yf(y)dy = x^2 + C

の左辺が同じではありません。

>となりますが
となりません。

問題にミスがありませんか？
式の変形にもミスがあるようです。

問題を正しく書き直し、積分の書き方もこのサイトの他の回答に習って書いて下さい。
⇒∫[0,1]f(y)dy+∫[0,1](x+y)^2*f(y)dy=x^2+C
ではないですか？

そうであれば
∫[0,1]f(y)dy+x^2*∫[0,1]f(y)dy+2x*∫[0,1]yf(y)dy+∫[0,1]y^2*f(y)dy
=x^2+C
となるはずですが、貴君の積分の展開は間違っているようです。