ベクトル

「ベクトル→a=(1,-1), →b=(2,x)が60°の角をなすようにxの値を求めよ」という問題です。xの値が2つ出てしまって、答えはx=4-2√3のみなんですが、最後に確認しなきゃいけないんですか？もっと楽な解法があったら教えて下さい

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/18 20:26

３行目の所でxの条件があることに注意しましょう！

三行目右辺は正となるので
-x+2＞0
則ちx<2です
このことから、２つ出てきた解のうち、範囲外のもは弾かなければ！
と言う意識が働くはずです(^⁠_⁠^)

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/21 14:02

正弦定理から

√(2^2+x^2) /sin45=(2+x)/sin60=2√2　sin75
√2　√(2^2+x^2)=2(2+x)/√3
4+x^2=2(2+x)^2 /3
12+3x^2 =2(4+4x+x^2)
x^2 -8x +4x=0 以下略

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/21 13:32

正弦定理から

x/sin15=2/sin75=√(2^2+x^2)/sin90=√(4+x^2) ..........(1)
sin75=sin(90-15)=cos15
x=2sin15/cos15=2tan15 以下略

面積から 2ベクトルa=(2,-2) より
2√2　*　√(2^2+x^2) *(1/2)*sin60 *(x/(2+x))=(1/2)*2*x
√(4+x^2) *√6=2(x+2)
6(4+x^2)=4(x^2 +4x +4)
2x^2-16x+8=0
x^2-8x+4=0
sin45>sin15 から　x<2 から　x=4+2√3は不適より　x=4-2　のみ

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/18 23:20

図を書けば　a=(1,-1) とx軸との角度は４５°だから　半角の公式から

x=2tan15°=2tan30/2=2√(1-cos30 / 1+cos30)=2√(1-√３ /2)/(1+√3 /2)=2(2-√3)　のみ
https://mathwords.net/hankakunokoushiki

3行目の右辺が正なので　－x＋２>０　より　x<2 から　４＋２√3は不適

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/18 21:17

2-x>0

4-x>2>0

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/05/18 21:05

x²+4>0 は 当然ですが、その前の行は、

右辺は 正 ですから、左辺 -x+2 も正 でなければなりません。
従って 答えは -x+2>0 → x<2 ですから、4+2√3 は 不適となります。

＞最後に確認しなきゃいけないんですか？

当たり前です。計算の結果が 問題の条件に合うかどうかは、
常に 確認する必要があります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/18 20:41

別会としては

始点を原点にして、２つのベクトルを図に書いてみます
→aの方は、横軸との角度が時計回りに45度
ですから
→bの方は、横軸とのなす角度が反時計回りに15度です
(aから時計回りに60度となるようなbは考えられません。なぜならそのようなbの横軸成分は2とならないから)
このことから
tan15＝x/2です(0<x<2)
後は、半角公式でも使ってxを求めると言うのも有りですが
画像の解法と比べて楽なのかのどうなのかは…