1^2+2^2+…+n^2<(n+1)^3/3を数学的帰納法を用いて証明してください。解法を見てもよ

1^2+2^2+…+n^2<(n+1)^3/3を数学的帰納法を用いて証明してください。解法を見てもよく分からなかったのですが左辺を∑K^2と考えて右辺-左辺>0で証明することはできないのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 返信の補足です。
  【このとき,
  
  (m+2)^3/3-(m+1)^3/3-(m+1)^2,
  
  =(3m^2+9m+7)/3-(3m^2+6m+3)/3=(3m+4)/3＞0
  
  よって,
  
  (m+1)^3/3+(m+1)^2＜(m+2)^3/3｡】
  n=m+1のときもOK｡
  (m+2)^3/3はn=(m+1)のときの右辺で(m+1)^3/3+(m+1)^2も表現方法を変えただけでn=(m+1)のときの右辺ですよね？
  
  ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
  これは表し方を変えただけで(m+1)^3/3+(m+1)^2と(m+2)^3/3は同じ値だから(m+1)^3/3+(m+1)^2＜(m+2)^3/3は成り立たないんじゃないのかという意味です。結局この不等式は成り立っているので私の言っていることがおかしいのだと思いますが、どこがおかしいの分からないで教えていただきたいです。お願いします。

    補足日時：2023/06/14 18:24

No.5 ベストアンサー 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/06/14 22:43

>左辺を∑K^2と考えて右辺-左辺>0で証明することはできないのでしょうか？

もちろんできますよね。
右辺-左辺
=(n+1)^3/3-n(n+1)(2n+1)/6
>(n+1)^3/3-n(n+1)(2n+2)/6
=(n+1)^2/3
>0

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/06/14 20:47

1²+2²+…+n²<(n+1)³/3の両辺に(n+1)²を足すんだね。

(n+1)³/3+(n+1)²が、(n+2)³/3より小さいことを言えば良いわけ。

(n+2)³/3は((n+1)+1)³/3だからね。

1²+2²+…+n²+(n+1)² < (n+1)³/3+(n+1)² < ((n+1)+1)³/3
と言う論法。

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/06/14 18:47

帰納法というのは

・1の時に成り立つケースがあったうえで、
・ｎの時に成り立つという前提があれば、必ずｎ+1の時にも成り立つ
事を証明できれば、すべての場合において成り立つという論理のことです。

1は成り立つとき、+1の2で成り立ち、
２で成り立つなら３で成り立ち、、、、
というのがずっと続くからですね。

この問題では、
n=1の時、
1²＜（1+1）³/3＝8/3で成り立ちます。

で
①1^2+2^2+…+n^2<(n+1)^3/3　が成り立っている時に
②1^2+2^2+…+n^2+(n+1)^2<(n+2)^3/3 が成立することを示せばすべてのｎ≧1について1^2+2^2+…+n^2<(n+1)^3/3が成り立つことを証明できるということになります。

①の最後に(n+1)^2を足すと
1^2+2^2+…+n^2+(n+1)^2<(n+1)^3/3+(n+1)^2
が成り立ちますが、この右辺が
(n+1)^3/3+(n+1)^2＜(n+2)^3/3 となれば、②が成り立つことになります。
なので、
(n+1)^2＜(n+2)^3/3 -(n+1)^3/3
⇔(n+1)^2<(3n²+9n+7)/3=n²+3n+7/3=(n+1)²+ｎ+4/3　*
⇔0＜ｎ+4/3　∀n≧1　n∈Ｚ（当たり前ですね）　　
を示せばよいということになります。

*　no.1計算間違いありますね、すみません。

これを証明として書く場合は、下から書いていくことになります。
帰納法は、証明自体は分かりにくいことは多いですが、逆向きに考えるとわかります。

No.2 回答者： ユイスマン 回答日時： 2023/06/14 18:33

数学的帰納法を使用して、1^2 + 2^2 + … + n^2 < (n + 1)^3 / 3を証明することができます。

左辺を∑K^2と考えることはできますが、右辺-左辺>0で証明することはできません。

以下は、数学的帰納法による証明の手順です。

①
n = 1の場合、左辺は1、右辺は8/3であり、不等式が成立します。

②
n = mの場合、不等式が成立すると仮定します。すなわち、1^2 + 2^2 + … + m^2 < (m + 1)^3 / 3です。

③
n = m + 1の場合を考えます。左辺は1^2 + 2^2 + … + m^2 + (m + 1)^2です。右辺は(m + 1)^3 / 3です。

④
左辺に(m + 1)2を加えます。これにより、左辺は12 + 2^2 + … + m^2 + (m + 1)^2になります。

⑤
右辺に(m + 1)^2 / 3を加えます。これにより、右辺は(m + 1)^3 / 3 + (m + 1)^2 / 3になります。

⑥
左辺と右辺を比較します。左辺は仮定より小さいため、右辺が大きいことがわかります。

⑦
よって、不等式が成立します。

このようにして、数学的帰納法を使用して、不等式が成立することが証明されます。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/06/14 17:27

細かいところを抜きにしていうと、n+1にしたときに両辺から∑K^2を引くと

(n+2)³/3-(n+1)³/3＝n²+3n＞(n+1)²　∀n>1
になるということでq.e.d.

この回答へのお礼

前回にも質問があったそうなので貼り付けます。参考書の解法と一緒だと思います。
(1)①n=1のとき,

左辺=1,右辺=8/3で不等式はOK｡

②n=mのとき,不等式を満たすと仮定する｡

1+4+9+…+m^2＜(m+1)^3/3とおける｡

両辺に(m+1)^2をたす｡

1+4+9+…+m^2+(m+1)^2＜(m+1)^3/3+(m+1)^2,

【このとき,

(m+2)^3/3-(m+1)^3/3-(m+1)^2,

=(3m^2+9m+7)/3-(3m^2+6m+3)/3=(3m+4)/3＞0

よって,

(m+1)^3/3+(m+1)^2＜(m+2)^3/3｡】

つまり,1+4+9+…+m^2+(m+1)^2＜(m+2)^3/3

n=m+1のときもOK｡
【】で囲んだ【このとき…からよって…】の流れが分からないです。(m+2)^3/3はn=(m+1)のときの右辺で(m+1)^3/3+(m+1)^2も表現方法を変えただけでn=(m+1)のときの右辺ですよね？混乱してきたので支離滅裂かもしれませんが返信お願いします。

お礼日時：2023/06/14 18:01