次のzの整級数の収束半径を求めよ。
Σ[n=0,∞] 1/n! ・ z^n
…という問題で、答えは∞になっています。
n乗ならコーシー・アダマールの公式
1/ρ = lim[n->∞]の上限値 |C_n|^(1/n)
が使えるんですが、階乗なのでどうしたらいいのか…。
結局、コーシー・アダマールの公式を使ってみました。
計算機で limit((n!)^(1/n),n,∞) の結果が ∞でした。
ということは、nの階乗とn乗根なら、どうやら
nの階乗の方が速く増大するみたいですね。
あれ?
でも、収束半径は右辺の逆数ですから、
本の答えの+∞にするためには、右辺は0でないといけませんよね?
どうやって計算するのか教えて下さい。お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
1/ρ = limsup[n→∞] |1/n!|^(1/n) = 1 / liminf[n→∞] |n!|^(1/n)
だから、ソレで何も変じゃないでしょ。
log |n!|^(1/n) = (1/n) log (n!) = (1/n) Σ[k=1…n] log k
を区分求積法で!
遅くなりました。
質問直後に気付いたのですが、計算機を使わなくても、
2のべき乗と階乗を0から並べると
1 2 4 8 16 32 64
1 1 2 6 24 120 720
…で、圧倒的に階乗の方が大きくなりますね。
べき乗される数が2より大きくても最終的には階乗の方が上ですね、きっと(?)。
> 1/ρ = limsup[n→∞] |1/n!|^(1/n) = 1 / liminf[n→∞] |n!|^(1/n)
逆数だと上限と下限がひっくり返るんですね。
考えたこともなかったです。
> log |n!|^(1/n) = (1/n) log (n!) = (1/n) Σ[k=1…n] log k
limit[n->∞](1/n) Σ[k=1…n] log k
で、やはり∞を得ました。
ありがとうございました!
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