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Γ(n/2)/Γ(n/2+1/2)=√(nπ)/2となることを示してください

質問者からの補足コメント

  • すみません。右辺は2/√(nπ)です。

      補足日時:2019/07/28 13:31
  • 右辺じゃなくて左辺でした。すみません

      補足日時:2019/07/28 14:09
教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

Γが階乗の一般化だと言われる例の公式 Γ(z+1) = zΓ(z) を使って、


整数 m に対して
Γ(m) = (m-1)Γ(m-1) = (m-1)(m-2)Γ(m-2) = … = {(m-1)(m-2)…1}Γ(1)
   = (m-1)!・1  = (2m-2)!!/2^(m-1),
Γ(m+1/2) = (m-1/2)Γ(m-1/2) = (m-1/2)(m-3/2)Γ(m-3/2) = … = {(m-1/2)(m-3/2)…(1/2)}Γ(1/2)
   = {(2m-1)(2m-3)…1/2^m}√π  = {(2m-1)!!/2^m}√π.

これを使って、
nが偶数のとき、Γ(n/2)/Γ(n/2+1/2) = {(n-2)!!/(n-1)!!}・2/√π,
nが奇数のとき、Γ(n/2)/Γ(n/2+1/2) = {(n-2)!!/(n-1)!!}・√π.
これが = 2/√(nπ) になるとは、ちょっと思えないですね。
何かの間違いではないですか?

ウォリスの公式 Π[n=1→∞] (2n)^2/(2n-1)(2n+1) = π/2 から
n が偶数のとき lim[n→∞] {(n-2)!!/(n-1)!!}√n = √(π/2),
n が奇数のとき lim[n→∞] {(n-2)!!/(n-1)!!}√n = √(2/π).
となるので、
nの偶奇によらず Γ(n/2)/Γ(n/2+1/2) 〜 √(n/2).
だけれども、その話かなあ?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。こちらの手違いでした。頂いた式についても今後の勉強の参考にさせていただきます。申し訳ありませんでした。

お礼日時:2019/07/29 00:19

no1 です、大変失礼しました。


ガンマ関数 については、お教えできる程の
知識がありませんので、ごめんなさい。
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左辺に パイ(Π)が無くて、右辺にはある。


左辺に ルート(√)が無くて、右辺にはある。
左辺の (「 )は 何の記号ですか。
どこから出てきた式なのでしょうか。
もう少し 広い範囲の 式を 見せていただけませんか。
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この回答へのお礼

右辺のそれはガンマ関数です

お礼日時:2019/07/28 14:08

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