次の問題が分かりません。解説どなたかお願い致します。 任意の △ABC の辺 BC、CA、AB の中

次の問題が分かりません。解説どなたかお願い致します。


任意の △ABC の辺 BC、CA、AB の中点をそれぞれ L、M、N とする。
このとき
AB^2+BC^2+CA^2 =4/3(AL^2+BM^2+CN^2)
が成り立つことを示せ。

質問者からの補足コメント

• 三平方の定理、相似の知識を使った解き方での解説をもしお願いできるならお願い致します…

    補足日時：2020/08/02 14:55

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/02 14:52

どっか適当に原点 O を置いて、

AB^2 + BC^2 + CA^2 = |→AB|^2 + |→BC|^2 + |→CA|^2
= | (→OB) - (→OA) |^2 + | (→OC) - (→OB) |^2 + | (→OC) - (→OA) |^2
= { |→OA|^2 + |→OB|^2 - 2(→OA)・(→OB) }
　+ { |→OB|^2 + |→OC|^2 - 2(→OB)・(→OC) }
　+ { |→OA|^2 + |→OC|^2 - 2(→OC)・(→OA) }
= 2{ |→OA|^2 + |→OB|^2 + |→OC|^2 } - 2{ (→OA)・(→OB) + (→OB)・(→OC) + (→OC)・(→OA) },

AL^2 + BM^2 + CN^2 = | →AL |^2 + | →BM |^2 + | →CN |^2
= | { →OB) + (→OC) }/2 - (→OA) |^2 + | { →OC) + (→OA) }/2 - (→OB) |^2 + | { →OA) + (→OB) }/2 - (→OC) |^2
= { |→OA|^2 + (1/4)|→OB|^2 + (1/4)|→OC|^2 - 2(1/2)(→OA)・(→OB) + 2(1/4)(→OB)・(→OC) - 2(1/2)(→OC)・(→OA) }
　+ { (1/4)|→OA|^2 + |→OB|^2 + (1/4)|→OC|^2 - 2(1/2)(→OA)・(→OB) - 2(1/2)(→OB)・(→OC) + 2(1/4)(→OC)・(→OA) }
　+ { (1/4)|→OA|^2 + (1/4)|→OB|^2 + |→OC|^2 + 2(1/4)(→OA)・(→OB) - 2(1/2)(→OB)・(→OC) - 2(1/2)(→OC)・(→OA) }
= (3/2){ |→OA|^2 + |→OB|^2 + |→OC|^2 } - (3/2){ (→OA)・(→OB) + (→OB)・(→OC) + (→OC)・(→OA) },

よって、
AB^2 + BC^2 + CA^2 = (4/3)(AL^2 + BM^2 + CN^2).

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/02 14:53

やり方は複数あります

一例
辺ABの中点が座標平面の原点と重なるように　ｘ軸上に辺ABを配置する
このとき　A(s,0),B(-s,0)と表すことができる
また　Cの座標を(t,u)とすると△ABCは任意なものとなる
ただし　s,t,uは任意の実数
AB^2=(2s)^2=4s^2
BC^2=(t+s)^2+(u-0)^2
CA^2=(t-s)^2+(u-0)^2
だから　左辺をs,t,uで表すことができます

次に　中点だから
L((t-s)/2,u/2)
M((t+s)/2,u/2)
N(0,0)
なので　右辺も同様にs,t,uで表せます

左辺のs,t,uの文字式と右辺の文字式が一致することを示せば証明完了です

・他にも　ABなどを位置ベクトルa,b,cで表して・・・というのも良いかもしれません

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/02 15:22

＞ 三平方の定理、相似の知識を使った解き方での解説をもしお願いできるならお願い致します…

それだと、△ABC のどこに鈍角があるかで場合分けしたりとか
嫌なことがたくさん発生するね。 Mの人の楽しみは止めないけど。

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/02 16:05

ご注文の解き方だと・・・ 相似は使いませんが・・・

AからBCに下した垂線の足をHとする
△ABHに三平方の定理で
AB²=BH²+AH²…①
△AHCに三平方の定理で
AC²=AH²+HC²…②
１＋２より　AB²+AC²=2AH²+BH²+CH²・・・３
ここで、BH=BL+LH,CH=CL-LH,BL=CLだから
BH²+CH²=(BL+LH)²+(CL-LH)²=2BL²+2LH²・・・４
４を３へ代入で
AB²+AC²=2AH²+2BL²+2LH²＝2BL²+2(LH²＋AH²）・・・５
△ALHに三平方の定理で
AL²=LH²+AH² これを５へ代入で
AB²+AC²=2BL²＋2AL²　となります（これを中線定理といいます）

同様に（中線定理を導くと）

AB^2+BC^2=2BM^2+2AM^2
BC^2+CA^2=2CN^2+2AN^2
CA^2+AB^2=2AL^2+2BL^2
左辺同士、右辺同士足し算で
2AB^2+2BC^2+2CA^2 =2(AL^2+BM^2+CN^2)＋2(AM²+AN²+BL²)
⇔AB^2+BC^2+CA^2 =(AL^2+BM^2+CN^2)＋(AM²+AN²+BL²)・・・６
となります

つぎに中点であることを考えると
AM=(1/2)AC
AN=(1/2)AB
BL=(1/2)BCですから
６に代入で
AB^2+BC^2+CA^2 =(AL^2+BM^2+CN^2)＋(1/4)(AC²+AB²+BC²)
⇔(3/4)(AB^2+BC^2+CA^2) =(AL^2+BM^2+CN^2)
⇔(AB^2+BC^2+CA^2) =(4/3)(AL^2+BM^2+CN^2)　となります

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2020/08/02 16:08