途中式と答えを教えてください 勉強 数学

途中式と答えを教えてください

勉強 数学

No.1 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/27 18:02

写真右で切れてるのは「＝」ですかね？

それなら、この式はｋの2乗をｋが２から(n-1)まで合計する。という意味の式になります。
具体的に書くと、
＝2^2+3^2+4^2+…(n-2)^2+(n-1)^2
となりますね。

Σk^2(k=1~n)＝n(2n+1)(n+1)/6
という公式は知っているでしょうか？
これを知っているなら、
この式から1の2乗とnの2乗を引いたものが答えとなることが分かります。

公式を知らないのであれば、以下の様に考えて算出します。
k^3-(k-1)^3=k^3-(k^3-3k^2+3k-1)=3k^2-3k+1
この両辺のkに1~nをそれぞれ代入し、合計しても、等式は成り立ちます。
筆算風に書くと
　1^3-(1-1)^3=3*1^2-3*1+1
　2^3-(2-1)^3=3*2^2-3*2+1
　3^3-(3-1)^3=3*3^2-3*3+1
　…
+ﾉn^3-(n-1)^3=3*n^2-3*n+1
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
といった感じになりますね。
左辺を考えると、1行目の「1^3」と2行目の「-(2-1)^3」が打ち消すことが分かります。
2行目と3行目も同様…n-1行目とn行目も同様です。
よって左辺はn^3-0^3=n^3となります。

そして右辺ですが、それぞれの項毎に考えて、
3Σk^2(k=1~n)-3Σk(k=1~n)+n　となります。
Σk(k=1~n)というのは=n(1+n)/2で表すことができます。
（これが分からない場合は再度聞いてくれれば説明します）
よって右辺は
3Σk^2(k=1~n)-3n(1+n)/2+n　となります。

両辺が＝なので
n^3=3Σk^2(k=1~n)-3n(1+n)/2+n　です。
これを変形させると
3Σk^2(k=1~n)=n^3+3n(1+n)/2-n
Σk^2(k=1~n)=(2n^3+3n(1+n)-2n)/6
=n(2n^2+3+3n-2)/6
=n(2n^2+3n+1)/6
=n(2n+1)(n+1)/6
と導くことができます。

この回答へのお礼

大変分かりやすいご説明ありがとうございました！

お礼日時：2017/01/27 18:06