自然数a,bでa>b,素数p,dでp>2のとき、a^p-b^p=d

自然数a,bでa>b,素数p,dでp>2のとき、a^p-b^p=d
であるならば、dを2pで割った余りが1であることを示せ。

考えたのは、因数分解をして、
(a-b){a^(p-1)+a^(p-2)*b+....+b^(p-1)}=d
dを2pで割るということは、左辺を2pで割ることだと思い、余りが
どうしたら1になるのか考えていますが、わかりません。
方針がまちがっているのかもしれません。
よろしくおねがいします。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/30 18:15

次に、(a-b)のp乗 を展開して、

最初の式と比べてみるといいですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ｐ乗を展開して考えました。
展開して、移項すると
a^p-b^p=(a-b)^p-{pC1a^(p-1)*b+・・・+pC1ab^(p-1)}
よって、
{pC1a^(p-1)*b+・・・+pC1ab^(p-1)}が２ｐで割り切れることを
示せばよいと思いますが、わかりません。アドバイスおねがいします。

お礼日時：2010/10/04 08:39

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/09/30 17:21

こんばんわ。

いいところまで考えついてるように思います。
因数分解したところで、「一時停止」ですね。＾＾

(a- b)*{a^(p-1)+・・・}＝ d
ここで、dも素数ということは、左辺に対して条件が付きそうですよね。
左辺を 2つの数の積であるとみれば・・・

そこから出てきた条件をもう片方の数へ適用して、二項定理・・・むにゃむにゃ・・・
一度、考えてみてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
a-b=1 でなければならないということですね
このあと、考えたいと思います。

お礼日時：2010/09/30 17:38