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2008年 室蘭工業大の過去問です。

公式HPに問題は載っているのですが、
詳しい解答が載っていませんでした。

http://www.muroran-it.ac.jp/nyushi/nyugaku/monda …

問3の問題の詳しい解答を知りたいです。

宜しくお願いします!!!

A 回答 (3件)

三項間漸化式の初級編です。

この種の問題を見ると、たとえばa(n+2)=5a(n+1)-6a(n), a(1)=1,a(2)=3,a(2)=2・・・(*)を満たす数列の一般項a(n)を求めよ。という問題に発展しますね。
ちょっと大雑把に回答してありますから、行間を読んで解析してください。
(1) a(n+2)-3a(n+2)=3((a(n+1)-3a(n))と変形できて、a(n+1)-a(n)=b(n)
と置けば、この式はb(n+1)=3b(n)ですから、数列b(n)は初項がb(1)=a(2)-3a(1)=3で公比が3の等比数列です。
(2) b(n)=3^nの左辺を戻してa(n+1)-3a(n)=3^n。両辺を3^(n+1)で割って
a(n+1)/3^(n+1)-a(n)/3^n=1/3 は数列{a(n)/3^n}の差を取っていますし、しかも
右辺より階差が1/3ですからこの数列は交差が1/3の等差数列です。だから一般項は
a(n)/3^n=a(1)/3+(n-1)*(1/3)です。整理すればa(n)=a(1)3^(n-1)+(n-1)3^(n-1)=n*3^(n-1)
かな。(*)の数列問題は参考書でみつけてチャレンジしてみてください。自信がつきますよ。
Think命
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こんばんわ。



面倒であっても、問題は自分で書くなり、画像にするなりした方がいいかと。
あと、どこまで考えたのかも・・・。

問題としては、標準的なものです。
(1)は言われたとおりに、与えられた式で漸化式を書き換えていきます。
a(n+2)を置き換えるあたりから、はじめてみればすんなりと書き換えられます。

数列:b(n)の漸化式は、いたって単純なものになります。

(2) (1)で 数列:b(n)が求められていますから、それを利用します。
a(n+1)= 3* a(n)+ b(n)の形で考えた方がわかりやすいかもしれません。
ポイントは、a(n)の係数になっている「3」です。
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 さすがに(1)は不要ですよね。


 (2)はc(n)=a(n)-(nの1次式)3^(nの1次式)の形にすれば{c(n)}も等比数列になりますので、簡単に求められます。
 詳しい解答は質問者さんの解答を見せてからにします。(その前に丸回答する人もいるでしょうが。)
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