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t=sinx+cosx の両辺を2乗すると,
t^2 = (sinx + cosx)^2
= sin^2 x + 2sinxcosx + cos^2 x
= 1 + 2sinxcosx ← sin^2 x + cos^2 x = 1 を利用しました.
2sinxcosx = t^2 -1
これより,y = (t^2 - 1) - t = t^2 - t - 1 となります.
t=sinx+cosx の右辺を合成すると,
t = √2 sin(x + π/4)
いま,x は実数であるから
-1 ≦ sin(x + π/4) ≦ 1
各辺を √2 倍すると,
-√2 ≦ √2 sin(x + π/4) ≦ √2
∴ -√2 ≦ t ≦ √2
t の関数 y = t^2 - t - 1 の -√2 ≦ t ≦ √2 における最大値および最小値を求めると,
y = t^2 - t -1 の右辺を平方完成して,y = (t - 1/2)^2 - 5/4
この2次関数のグラフを,-√2 ≦ t ≦ √2 の範囲でかくと,
t = -√2 のとき,最大値:(-√2)^2 + √2 - 1 = 1 + √2
t= 1/2 のとき,最小値:- 5/4 となります.
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