算数(中学受験)の表面積の求め方

次の図は、1辺8cmの立方体から三角錐を切り取ったものです。
この立体の表面積を求めなさい。

という問いについて、答えの求め方を教えてください。

答えは368cm²となるようです。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/15 16:55

三角錐の高さは求まらないか...

一辺 8cm の正方形から斜面の三角形を引くと、
残る部分が直角三角形になりますね。

これで計算できる。
△ = 8×8 - 4×4/2 - 8×４/2 - 4×8/2 = 24 (cm²)

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2021/07/15 16:31

1辺が４ｃｍの対角線の長さをｘとした時

ｘ＊ｘ＝３２ｃｍ²…①
1辺８ｃｍの立方体の表面積は、３８４ｃｍ²
ここから、図のように三角錐を切り取った場合、表面積の増減は
減少分、２＊4＊8÷２＋4＊4÷２＝４０ｃｍ²
増加分、ｘ＊ｈ÷２（xは対角線の長さ、ｈは高さ）・・・②
3平方の定理から
(ｘ/2)²+64=h²①から
８＋６４＝７２＝ｈ²
➁＊②＝ｘ＊ｘ＊ｈ＊ｈ÷４＝３２＊７２÷４＝５７６＝２４＊２４
➁＝２４ｃｍ²
よって目的の立体の表面積は
３８４－４０＋２４＝３６８cm²

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/15 16:06

算数(中学受験)ってことは、√ とか三平方の定理とか禁じ手ですよね？

斜面の三角形は、各辺が無理数なので、平面三角形の問題として
算数の範囲で処理することはできません。

斜面の面積を求めるのには、
切り取られた三角錐の体積を経由するのでしょう。
おそらく、見切れている
ひとつ上の問題がヒントになっていただろうと思います。

No.3 回答者： めいくめいく 回答日時： 2021/07/15 02:58

この図形は、正方形×3と台形×2と五角形×1と三角形×1から構成されています。

今回、三角形の面積を求めるのが肝だと思われます。各辺の長さを三平方の定理で求めたあと、さらに三角形の高さを三平方の定理で求めます。(もっといい方法あるかもしれないです。)
手書きですが、是非参考になればいいです。

No.2 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2021/07/15 02:43

中学受験でルートは禁じ手だと思うので、別解を。

問題の図の三角形と合同な三角形を、正方形の中に描きます。その際、三角形の合同条件の「3組の辺がそれぞれ等しい」を用います。そうすると、その三角形の面積は、
8×8－4×4÷2－8×4÷2×2 ＝ 24
です。これが求まれば、あとは簡単です。

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2021/07/15 02:37

まずね。

仮に1辺8cmの立方体があったら。
その表面積は

6 * 8 ^ 2 = 384

ってのはいいよね?
次に。
図の様に欠けさせた場合。まずは欠けた部分を引かないとならない。

2辺が4cmの直角三角形1つ ・・・・・・・・・・・・ 表面積は8cm^2
底辺が4cm、高さが8cmの直角三角形が2つ・・・・・表面積は合わせて32cm^2

つまり

384 - 40 = 344cm^2

ってのが途中までの計算。
さて、ここに切り取った部分が形成した新たな三角形の面積を「表面積の一部として」加えないといけない。
底辺が4√2ってのは一見で分かるとして。
残り2辺は・・・二等辺三角形の底辺以外の部分なんだけど、ピタゴラスの定理により、それらの1辺の長さ(の自乗)は

8^2 + 4^2 = x^2
∴ x^2 = 80

ってなるのが分かる。
そうすると、同様にピタゴラスの定理をその切り取った部分で出来た三角形に適用すると、

高さ^2 = 80 - (2√2 ^ 2) = 72

になるって事が分かるね。
高さはそうすると

高さ = √(36 * 2) = √(18 * 4) = √(9 * 2 * 4) = 6√2

になって、結果件の三角形の面積は

1/2 * 底辺 * 高さ = 1/2 * 4√2 * 6√2 =24

となる。

結果、

344 + 24 = 368 cm^2

となってオシマイ。