y＝2sinxcosx-sinx-cosxについてyの最大値と最小値を求めよ。 教えてください！よろ

y＝2sinxcosx-sinx-cosxについてyの最大値と最小値を求めよ。


教えてください！よろしくお願いします＞＜

No.1 ベストアンサー 回答者： obonobo 回答日時： 2017/12/15 08:17

t=sinx+cosx の両辺を２乗すると，

t^2 = (sinx + cosx)^2
= sin^2 x + 2sinxcosx + cos^2 x
= 1 + 2sinxcosx ← sin^2 x + cos^2 x = 1 を利用しました．
2sinxcosx = t^2 -1
これより，y = (t^2 - 1) - t = t^2 - t - 1 となります．

t=sinx+cosx の右辺を合成すると，
t = √2 sin(x + π/4)
いま，x は実数であるから
-1 ≦ sin(x + π/4) ≦ 1
各辺を √2 倍すると，
-√2 ≦ √2 sin(x + π/4) ≦ √2
∴ -√2 ≦ t ≦ √2

t の関数 y = t^2 - t - 1 の -√2 ≦ t ≦ √2 における最大値および最小値を求めると，
y = t^2 - t -1 の右辺を平方完成して，y = (t - 1/2)^2 - 5/4
この２次関数のグラフを，-√2 ≦ t ≦ √2 の範囲でかくと，
t = -√2 のとき，最大値：(-√2)^2 + √2 - 1 = 1 + √2
t= 1/2 のとき，最小値：- 5/4 となります．

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2017/12/15 19:55