数IIの問題です。a＞０、b＞０のとき√ab≧２ab/a＋bを証明せよ。また、等号が成り立つときを調

数IIの問題です。a＞０、b＞０のとき√ab≧２ab/a＋bを証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。という問題で解答に、√ab＞０、2ab/a＋b＞０であるから√ab≧2ab/a＋b 等号が成り立つのはa−b＝0のときとかいてあるのですがどうしてa−b＝0のときなんでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/20 22:17

相加平均≧相乗平均　より

(a+b)/2≧√ab　が成り立つ (足して２で割ったものは、書かけてルートにしたものより大きいか等しいということ）

この式を両辺2√ab/(a+b)倍すると
√ab≧2ab/(a＋b)
という事だと思いますが、
(a+b)/2≧√abで等号が成立するのはa=bすなわちa-b=０のときだけです。
これを具体的数字でやってみると、
a=b=1
a=b=2
a=b=3等のときは等号が成り立ちます。
しかし、a≠ｂのとき
たとえば、a=1,B=2
a=3 b=1
等のときは、ルートのある側が小さくなってしまいます。
たしかに、
相加平均≧相乗平均　
(a+b)/2≧√ab　で
等号成立はa=b すなわち a-b=0と言えます。

だから、(a+b)/2≧√ab　を変形した式、√ab≧2ab/(a＋b)も
等号成立条件は変わらずa-b=0のときとなります。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2018/02/20 22:42