一辺の長さがaの正八面体がある。 この正八面体の各面の重心を頂点とするせい六角面体の体積を求めよ。

一辺の長さがaの正八面体がある。
この正八面体の各面の重心を頂点とするせい六角面体の体積を求めよ。


答えは2√2a^3/27です。

解き方が全くわかりません。

宜しくお願いします^^

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2018/11/12 12:10

せい六角面体は正六面体（立方体、サイコロの形）の誤記でしょうね

正八面体がどんな立体かはイメージできますか
各面の重心がどんな点かはイメージできますか

断面を考えていけば図形で解けますが
説明が簡単になりそうなので座標を使います

正八面体を底面が正方形である四角錐が二つとして
底面の正方形の角の点を
(a/2,a/2,0),(a/2,-a/2,0),(-a/2,-a/2,0),(-a/2,a/2,0)
とすれば、
四角錐の頂点は、(0,0,(√2)*a/2),(0,0,-(√2)*a/2) となります

各面の重心は、（代表的なものだけ）
(a/3,0,(√2)*a/6),(0,a/3,(√2)*a/6),(a/3,0,-(√2)*a/6) となって

1番目と2番目を使うと、六面体の辺の長さの2乗が
((1/9)+(1/9)+0)*a^2=(2/9)*a^2　となり
1番目と3番目を使うと、辺の長さが
(√2)*a/3 となります

正六面体の体積は、辺の長さの3乗です

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/11/11 23:50

「せい六角面体」ってなんですか?