数A 正八面体の中の立方体

Question

18番の問題です。画質が悪くてすみません。
立方体であるという証明が上手く出来ません...
できるだけ細かく教えて頂けると幸いです。

Tacosan · Accepted Answer

辺AC の中点を X として, 2つの面ABC, ACD の重心を考えてみよう. それぞれ
・△ABC の重心は線分BX を 2:1 に内分する点
・△ACD の重心は線分DX を 2:1 に内分する点
で, 3点B, D, X を含む面で正八面体を切るとこの 2つの重心はその面上にあって BD と平行かつ長さは BD の 1/3 になることがわかる.

辺を共有する全ての面の組に対して同じように考えると, 影を付けた立体は
AF, BD, CE と平行で長さがそれらの 1/3 である辺
を 4つづつ持つことがわかる. AF, BD, CE は全て互いに直交しかつそれらの線分の長さは同じだから, 結果として影を付けた立体は立方体になる.

と面倒くさく書いてみたけど, 実は AF, BD, CE は 1点で交わるのでそれらを軸とする座標系を入れてしまうのが簡単なのかもしれない.

konjii · Answer

（１）
２つの面ΔＡＢＣとΔＡＣＤを考える。Ａから出たΔＡＢＣの重心Ｐ’を通って辺ＢＣの中点Ｐ、Ａから出たΔＡＣＤの重心Ｑ’を通って辺ＣＤの中点をＱと
すると、Ｐ’Ｑ’∥ＰＱ∥正方形ＢＣＤＥ。
同じく、２つの面ΔＡＣＤとΔＣＦＤを考える。Ｃから出たΔＡＣＤの重心Ｒ’を通って辺ＡＣの中点Ｒ、Ｃから出たΔＣＦＤの重心Ｓ’を通って辺ＣＦの中点をＳとすると、Ｒ’Ｓ’∥ＲＳ∥正方形ＡＣＦＥ。
正方形ＢＣＤＥ⊥正方形ＡＣＦＥから辺Ｐ’Ｑ’⊥Ｒ’Ｓ’
同様にして、１２本ある辺の隣接する辺は垂直であることが言える。
よって、立体は立方体。

konjii · Answer

（１）
正八面体の正三角形の重心と隣接する重心は全て同じ距離でそれらを結ぶ
線は互いに直交しているので、立体は立方体。
（２）
２つの面ΔＡＢＣとΔＡＣＤを考える。Ａから出た重心を通って辺ＢＣ，辺
ＣＤの中点までの線は、中点までは(5√3)/2、重心までは(5√3)/3
辺ＢＣの中点Ｐから，辺ＣＤの中点Ｑまでの距離は辺ＢＣと辺ＣＤが直交しているので、(5√2)/2。余弦定理から∠ＰＡＱを求めると
50/4=75/4+75/4-150/4*cosθ
150cosθ=100
cosθ=2/3,　ここで立方体の一辺の長さをaとすると、余弦定理から
a²＝75/9+75/9-150/9*2/3=50/9
a=√50/9　よって、体積は
a³＝50/9*√50/9=250√2/27

tknakamuri · Answer

BD、EC、FAを直交座標のx、y、z軸に沿うように置くと
ハ面体の各頂点の座標値は容易にわかりますよね。

三角形の頂点の座標値(位置ベクトル)をa、b、cとすると
重心の座標は(a+b+c)/3

―方、中心が座標の原点で、辺がx、y、z軸と平行な
立方体の頂点の座標は、辺の長さが2Lなら
(±L、±L、±L)

これと各三角形の重心座標を比べればいい。

Tacosan · Answer

3直線 AF, BD, CE が全て互いに直交することはわかる?

ありものがたり · Answer

(1)
立方体

(2)
正八面体の頂点が (±a,0,0), (0,±a,0), (0,0,±a)
になるように座標軸を置くことができるが、
正八面体の一辺の長さが 5 なので √(a² + a² + 0²) = 5.
よって、 a = 5/√2.

立方体の頂点は (±a/3,±a/3,±a/3) になるので、
立方体の一辺の長さは √( (2a/3)² + 0² + 0² ) = (2/3)a = (5/3)√2.
立方体の体積は、 ((5/3)√2)³ = (250/27)√2.

数A 正八面体の中の立方体

辺AC の中点を X として, 2つの面ABC, ACD の重心を考えてみよう. それぞれ

（１）

（１）

BD、EC、FAを直交座標のx、y、z軸に沿うように置くと

3直線 AF, BD, CE が全て互いに直交することはわかる?

(1)

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