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正三角形の板を5枚使って、写真の様な正5角錐を作りたいのです。木口に角度をつけて、きっちり貼り合わせるには、何度にカットすればいいのでしょうか?あわせて、底面の角度もご教授願います。

「正5角錐を作るにあたり」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 分かりにくいかもしれないですが、図面的なもので補足します
    隣あった板と板の角度と、底面の角度の二つが知りたいですm(__)m
    板はすべて正三角形です

    「正5角錐を作るにあたり」の補足画像1
      補足日時:2017/01/01 10:59

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A 回答 (2件)

下の図と一緒に参考にして下さい。



●隣り合った板の角度
図1はこの立体を真下から見た図です。
平面に投影すると、底角は54°。つまりこの立体が底面と接する部分での隣り合う板の角度は108°。
この関係は立体を横に水平に切った切り口でも保たれ同じです。

なので、108°÷2=54°の切れ込みを入れれば、ピッタリ合います。

●底面との角度
図2の赤線は青面を底面に投影した時の頂点までの長さ。
この関係は図3、図4で解ると思います。

正三角形の1辺の長さを1とすると。
赤線の長さは正弦定理より求まります。
0.5/sin36°=赤線/sin54°
0.5/0.5878=赤線/0.809 これを解いて赤線=0.6882

図4で三平方の定理から高さを計算すると
(√0.75)²=(0.6882)²+高さ²
高さ=0.5257

ここで再度正弦定理より角度xを計算
(√0.75)/sin90°=0.5257/sinx
sinx=0.5257/(√0.75)=0.6070

∴x=37.4°
「正5角錐を作るにあたり」の回答画像2
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この回答へのお礼

すばらしい(*´▽`*)
丁寧で分かりやすい回答
本当にありがとうございます!!

お礼日時:2017/01/01 16:49

平面なら中心角は360÷5=72°ですが、それだと平面になるので、


それより小さい65°とか60°にします。

そういう2等辺三角形を5個使えば立体に出来ます。

70°にしたら、底辺2個は55°

40°にしたら、底辺2個は70°

図は全部の角が60°の正三角形を5個貼り付けている様に見えます
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この回答へのお礼

さっそくのご回答ありがとうございます。
質問にもあります通り、正三角形を5枚で作ります!!2等辺三角形の組み合わせでは先が尖り過ぎてしまうので

お礼日時:2017/01/01 09:45

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 どなたかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

terupeさん、こんにちは。下で私が書いた面倒な計算は不要です。もっと簡単に求まります。といってもベクトルの内積お概念は必要ですが…三角形の二等辺の間の角θで表わした方が便利だと思います。三角が底面となす角をφとすると
 cosφ・tan(π/8) = tan(θ/2)
から底辺のテーパが決まります。三角形に垂直なベクトルの間の角は次の様に考えられます。底辺の中点から頂点に向かう単位ベクトルをpとし、側面の三角形の面に垂直な単位ベクトルをn、錐体の側面の辺から中心軸の方向に向かいpに垂直なベクトルをtとします。nとtの間の角が求めたいテーパの角です。底面の八面体の一つの辺をy軸に平行に置くと、
 n=(-1,0,nz)
 t=(-cos(π/8),-sin(π/8),tz)
とおけます。三角が底面となす角をφとすると
 a=(-cosφ,0,-sinφ)
で、n・a=t・a=0でなければならないから、
 n=(-1,0,1/tanφ)
 t=(-cos(π/8),-sin(π/8),cos(π/8)/tanφ)
になります。これからnとtの間の角をψとすると
 cosψ = cos(π/8)/√(sin^2φ + cos^2(π/8)cos^2φ)
この式はφ=0でψ=π/2, φ=π/2でψ=π/8となり正しい値を与えています。θ=40゜=0.69813(rad) のとき、
  cosφ・tan(π/8) = tan(θ/2)
よりφ = 0.4976665 (rad)で、
 π/2 - φ = 1.0731298 (rad)
が底辺のテーパ角です。頂点を挟む辺のテーパは上の式より
  ψ = 0.195217 (rad)
になります。

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 cosφ・tan(π/8) = tan(θ/2)
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