正八面体の8面を、7色A～Gで塗り分ける方法は何通りあるか（隣り合う面は同じ色でもいいが、回転して一

正八面体の8面を、7色A～Gで塗り分ける方法は何通りあるか（隣り合う面は同じ色でもいいが、回転して一致するものは同一視する）。という問題で、答えは5880通りです。

知恵袋の方では、「７色をA,B,C,D,E,F,Gとすると少なくとも１回は使うのだから、１回使う色が６色，２回使う色が１色となる。２回使う色の内、片方の面を面ａとすると、面ａ以外の７面の塗り方は７×６×５×４×３×２×１＝５０４０通り。ただし、面ａは正三角形であり、正８面体は面ａの重心を貫いて直交する直線を軸に１２０度ずつ回転しても同じ形となる。このため、同じ塗り方を３回ずつ数えているので７面の塗り方は５０４０÷３＝１６８０通り。また、面ａと同じ色の面がもう一つあり、同じ塗り方を２回ずつ数えているので、１６８０÷２＝８４０通り。２回塗る色の選び方は７色あるので７通り。８４０×７＝５８８０通り」

とありました。

これを見て、対称性から「正八面体の8面を、7色A～Gで塗り分ける方法」と「正六面体の8頂点を、7色A～Gで塗り分ける方法」が同じであると考えたのですが、上記の問題を立方体として考える、すなわち「正六面体の8頂点を、7色A～Gで塗り分ける方法」を求めるとき、途中式はどのようになるのでしょうか。（回りくどい言い方ですみません。）

どなたか教えてください。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/08/05 02:28

> 同じであると考えた

正しい。ですから「（正八面体の）面」や「（正八面体の）面の重心」を、全部「（正六面体の）頂点」と読み替えるだけです。（ただし、「（正八面体の）面ａは正三角形」という（なくても構わない）クダリは「（正六面体の）頂点ａは点」と言わなきゃ辻褄が合わないですね。）