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現在中学生ですが、三平方の定理を学校で習いました。直角三角形以外での求め方はないのだろうかと、いろいろ考えてみましたが、ぜんぜん分かりません。高校で習うのかもしれませんが・・・・。二等辺三角形の場合だけとか、そういった限られた場合でもいいので、そういう辺の長さを求める定理があるならば教えてください。
ついでに・・。今いろいろやって、二等辺三角形の辺の長さを求めるのをやってたら、
底辺以外の辺の長さをxとした場合、それぞれ頂角が30°,120°なら、底辺の長さが x(√2+√6)/2, x√3になったんですけどあってますか?

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A 回答 (7件)

三角形の辺や角度を求めるものに、


正弦定理と余弦定理というものがあります。(URL参照)
高校生になったら普通に習うと思います。

正弦定理:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sanka …
余弦定理:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sanka …
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2004/12/07 22:10

直角三角形以外でも求められる三角形は、


頂角の1つが30°45°60°120°135°150°の場合ならなんとかなります。
(高校で習う正弦定理・余弦定理でも、出題される問題は上記の角の場合です)
さて、その場合の求め方なのですが
その頂角以外の頂点から対辺に垂線を引いて、2つの直角三角形を作りましょう。
30°60°90°の直角三角形なら、1:√3:2
45°45°90°の直角三角形なら、1:1:√2 の比や
三平方の定理を使って求められるはずです。

例えば、三角形ABCにおいて、
∠A=60°,辺AB=x,AC=yの場合を考えてみましょう。
頂点Bから対辺ACに垂線を引いて、ACとの交点をHとします。
直角三角形ABHに注目すると
AB:AH:BH=2:1:√3 だから AH=x/2,BH=(√3/2)x となります。
次に、直角三角形BCHに注目すると
三平方の定理により、
BC^2={(√3/2)x}^2+(y-x/2)^2 だから
BC=√(x^2+y^2-xy) として求められることになります。
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正弦、余弦定理を使わなくても簡単にもとまりますよ。


高校受験なんかで出題された場合。まず、頂点から底辺に垂直になるように線を引きます。2つの直角三角形ができますね、むしろ、できるように頂点を選んでください。そしたら、1つの直角三角形の長辺ともう1つのそれの比は、底辺の比と等しくなります。これは、中学数学の定理ですよ。これから、求められます。
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ごめんなさい。

勘違いでしたm( _ _ )m
答えは(√3-1)x/√2=(√6-√2)x/2ですね。。。
自分は余弦定理を使って解いたんですが、
どーも底辺の1/2の値を出してしまっていたようです。
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数学と離れて時間が経ってますので、自信はないので、間違ってたらごめんなさい。


三平方の定理は、直角三角形しか適用できませんね。その三平方の定理を拡張(?)した定理が余弦定理です。この定理は中学では習わないかと思います。高校に行けば、三角比という分野があり、そこで直角三角形以外の三角形を扱います。余弦定理は以下のURLにて。
http://www.ies.co.jp/LoveMath/center/yogen1/yoge …
この中のcosAと言う部分が0であれば、三平方の定理になります。
三角比については、以下のURLにて。
http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page32.htm

後半の質問ですが、頂角30°、120°、二辺xの二等辺三角形の底辺の長さは、前者x(√6-√2)/2,後者は正解でx√3だ思います。KRASUさんの計算結果で行きますと、(√2+√6)/2は√3より大きいので、頂角の小さい30°の方が底辺が大きくなってます。これは、明らかにおかしい結果ですね。数学は、計算して答えが出ることより、その答えを分析・考察することが大切だと私は思います(個人的な考えですけど)。KRASUさんは、学校で習っていないものにまで興味を持って質問していますが、これは大変関心出来ることですね。私は、中学生時代は勉強よりクラブ・遊びばかりで、よく怒られていました(笑)

参考URL:http://www.ies.co.jp/LoveMath/center/yogen1/yoge …

この回答への補足

√6+√2になってたのはこっちのミスみたいです。すいません。

補足日時:2004/12/07 22:31
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計算したんですが、頂角が120°のときは√3xで合ってます。


30°のときは(√3-1)x/2√2=(√6-√2)x/4になりました。
ルートを有理化したときに分母に√2をかけるのを忘れてなかったですか??

この回答への補足

√6+√2になってたのはこちらのミスみたいです。でも分母が4にはならないんですけど・・・。もともと分母が√2になってるんですけど・・・。ちなみに使った求め方は、頂角を中心として半径xの円を書いて、そこに中心角60度のおうぎ形。それで、それの角を二等分し、後は3平方の定理の連続で・・・・みたいな感じでやったんですけど・・・。

補足日時:2004/12/07 22:25
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今、後者の方解いてみましたが、それで合ってますよ!!


前者は、、6√2/(√3-1)x  になりました、、
ちなみに正弦余弦は使っていません。
2つの頂角75°を30と45にわけて、二等辺三角形を3つ作りました。
また後で解いてみますが。

中学校では、30、60、45、90しか習いませんから、そんなに心配しなくても大丈夫。
正弦余弦は、高2で習うことになると思いますよ!!

この回答への補足

間違ってました?後で計算してみます。あと、いろいろ聞いちゃって悪いんですが、先ほどのに加えて、ある三角形の底辺の長さをyとした場合、頂角がその半分の三角形の底辺の長さは
(√(x+y/2) - √(x-y/2))√xになる・・・っていうふうに計算で出たんですけど、これはあってますか?NO.1の方が教えてくれたHPをみてやればいいんですけど、ちょっとまだ難しすぎるんで・・・・。

補足日時:2004/12/07 22:15
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