図Iの円に内接する正三角形の面積と, 図Ⅱ の円に外接する正三角形の面積の比として, 正 しいのはど

図Iの円に内接する正三角形の面積と, 図Ⅱ
の円に外接する正三角形の面積の比として, 正
しいのはどれか。
なお,図Iと図Ⅱの円の半径の長さは同じで
ある。

図Ⅱの接点を結んで考えてみる。すると, 図1のように,円に内接する正三角形を回転した逆三角形であることがわかる。辺の比(相似比) が 1:2なので,面積比は1²:2²=1:4であることがわかる。

辺の比（相似比）が1:2ってどこからわかりますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/09/09 00:49

＞辺の比（相似比）が1:2ってどこからわかりますか？

図Ⅱに、図Ⅰを逆さにした内接三角形を書いてみてください。
どちらの三角形も「正三角形」であるという条件ですから「相似」であることはよいですね？
そして、小さい正三角形は、大きい正三角形に内接しています。
内接した正三角形で仕切られた各々の三角形も「正三角形」になり、１辺は共通になります。つまり内接した正三角形で仕切られた各々の正三角形は、「合同」であることになります。

ということで、大きい正三角形は、小さい正三角形４個分であることが分かります。

きちんと証明するのは面倒なので、感覚的に説明しました。
きちんと証明するには、どことどこが平行だとか、外接正三角形と内接円の接点は正三角形の辺の中点だとか、そういうことを並べていけばよいです。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2021/09/09 09:58

図Ⅰの円の中心は内接正三角形の重心。

よって、内接正三角形の高さは
半径をｒとして、ｒ＋r/2=(3/2)r。
図Ⅱの円の中心は外接正三角形の重心。よって、外接正三角形の高さは
半径をｒとして、2ｒ＋r=3r。
以上から、(3/2)r：3r＝１：２と分かる。
面積比は、１²：２²＝１：４となる。