【初月無料キャンペーン中】gooドクター

図Iの円に内接する正三角形の面積と, 図Ⅱ
の円に外接する正三角形の面積の比として, 正
しいのはどれか。
なお,図Iと図Ⅱの円の半径の長さは同じで
ある。

図Ⅱの接点を結んで考えてみる。すると, 図1のように,円に内接する正三角形を回転した逆三角形であることがわかる。辺の比(相似比) が 1:2なので,面積比は1²:2²=1:4であることがわかる。

辺の比(相似比)が1:2ってどこからわかりますか?

「図Iの円に内接する正三角形の面積と, 図」の質問画像

A 回答 (2件)

>辺の比(相似比)が1:2ってどこからわかりますか?



図Ⅱに、図Ⅰを逆さにした内接三角形を書いてみてください。
どちらの三角形も「正三角形」であるという条件ですから「相似」であることはよいですね?
そして、小さい正三角形は、大きい正三角形に内接しています。
内接した正三角形で仕切られた各々の三角形も「正三角形」になり、1辺は共通になります。つまり内接した正三角形で仕切られた各々の正三角形は、「合同」であることになります。

ということで、大きい正三角形は、小さい正三角形4個分であることが分かります。

きちんと証明するのは面倒なので、感覚的に説明しました。
きちんと証明するには、どことどこが平行だとか、外接正三角形と内接円の接点は正三角形の辺の中点だとか、そういうことを並べていけばよいです。
    • good
    • 0

図Ⅰの円の中心は内接正三角形の重心。

よって、内接正三角形の高さは
半径をrとして、r+r/2=(3/2)r。
図Ⅱの円の中心は外接正三角形の重心。よって、外接正三角形の高さは
半径をrとして、2r+r=3r。
以上から、(3/2)r:3r=1:2と分かる。
面積比は、1²:2²=1:4となる。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング