だれか～

お尋ねします。
「長方形ABCDの内部に、互いに外接する２円O、O2があって、円OはABとBCとに接し、円O2はADとDCとに接する。このとき2円の面積の和の最小値はいくらか。ただし、AB=８a、BC＝９aとする。」

この問題解ける方がいたら教えていただけないでしょうか？

問題集には「π(2(x-5a/2)^２+２５a^2/２）という解法になり、x=5/2aの時、最小値25aπ^2/2πとなる。」という答えが載っているんですが、私が解いたら「π(2x(x-5a)+25a^2/2)」という訳のわからない解法になってしまい、「X=5の時、最小値25aπ^2/2」・・・ん？？・・というような結論に至ってしまいます。

数学が大の苦手なため、出来るだけ細かく教えていただけたらありがたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： pandalovelove 回答日時： 2015/05/02 13:38

細かくとのご希望なので、長くなります。

円Ｏの中心をＰ，半径をｘ、円Ｏ２の中心をＱ　半径をｙとします。
点Ｐから辺ＣＤと点Ｑから辺ＢＣに垂線をおろし、その交点をＲとします。

ＰＲについて
辺ＰＲを辺ＡＢ、辺ＣＤに延ばし、その交点を各々Ｅ，Ｆとします。
このとき、Ｅ，Ｐ，Ｒ，Ｆは直線上にあり、かつ、ＥＦとＢＣは平行です。
また、ＥＦとＡＢ、ＣＢは各々直交（直角に交わる）します。
円ＯはＡＢと接しているので、
ＥＰ＝ｘ
同様の考え方で
ＲＦ＝ｙ
また、ＢＣ＝ＥＦなので、
ＰＲ＝ＥＦ－ＥＰ－ＲＦ
　　＝ＢＣ－ｘ－ｙ
　　＝９ａ－（ｘ＋ｙ）

同様に、ＲＱ＝８ａ－（ｘ＋ｙ）

ＰＱは円Ｏと円Ｏ２を結んだ直線なので、
ＰＱ＝ｘ＋ｙ
ここで、ｘ＋ｙ＝ｚとすると、三角形ＰＱＲの各辺の長さは
ＰＲ＝９ａ－ｚ
ＲＱ＝８ａ－ｚ
ＰＱ＝ｚ　　　　となります



三角形ＰＱＲは、ＰＲとＱＲが直交するので直角三角形なので、
（イメージは各々の円の中心を結んだ線を斜辺とする直角三角形）
三平方の定理から
ＰＱ＾２＝ＰＲ＾２＋ＲＱ＾２
ｚ＾２＝（９ａ－ｚ）＾２＋（８ａ－ｚ）＾２
これを展開して
ｚ＾２＋３４ａｚ＋１４５ａ＾２＝０
（ｚ－５ａ）（ｚ－２９ａ）＝０
ｚ＝５ａ　ｏｒ　２９ａ
ｚは長方形にあるで、　ｚ＜８ａ
故に
ｘ＋ｙ＝５ａ

ｙ＝－ｘ＋５ａ

２つの円の面積の和は、
Πｘ＾２＋Πｙ＾２
＝（ｘ＾２＋ｙ＾２）Π
＝{ｘ＾２＋（－ｘ＋５ａ）＾２}Π
＝（２ｘ＾２－１０ａｘ＋２５ａ＾２）Π
＝２{ｘ＾２－５ａｘ＋（２５ａ＾２）／２}Π
＝２[ｘ＾２－５ａｘ＋{（２５ａ＾２）／４}＋{（２５ａ＾２）／４}]Π
＝２{（ｘ－５ａ／２）＾２}Π＋２{（２５ａ＾２）／４}Π
＝２{（ｘ－５ａ／２）＾２}Π＋{（２５ａ＾２）／２}Π


この２次方程式では、
ｘ＝（５／２）ａのとき
{（２５ａ＾２）／２}Πが最大値となります。



全角しか使えなかったのでわかりにくかったらごめんなさい。

あと、カテゴリが歴史なので、数学カテゴリにでも
投稿しなおしたほうがいいと思います。
（ｘの定義も書いたほうがいいよ）

この回答へのお礼

ありがとうございます。
少し分からないところがあるんですが、
＝２{ｘ＾２－５ａｘ＋（２５ａ＾２）／２}Π
＝２[ｘ＾２－５ａｘ＋{（２５ａ＾２）／４}＋{（２５ａ＾２）／４}]Πのところの（２５ａ＾２）／２が（２５ａ＾２）／４}＋{（２５ａ＾２）／４になる原理が分からないです。
どうやって導き出すのでしょうか？

お礼日時：2015/05/02 14:07