No.2
- 回答日時:
支障なければもう出たものと思います.
どの頂点iについても, 任意のnについて
Pi(n)=(1/3){1-Pi(n-1)} (n≧1; i=1,2,3,4)
ですから, この2項間漸化式を
初期条件:P1(0)=1/4,P2(0)=1/2、P3(0)=1/8、P4=1/8
のもとに解けばよいですね.
典型問題ですから, 自力で解いて, もし問題点が生じていたら補足すれば, どなたかの助け舟が出るでしょう.
この回答への補足
・・・漸化式を立てるときには初期条件は考えなくて良いということですよね?物分りが悪いので「当たり前」な質問をしていますね・・。すみません(泣)。この問題って簡単なんでしょうか・・・?
補足日時:2002/11/04 16:46No.3ベストアンサー
- 回答日時:
どの頂点iについても, 任意のnについて
Pi(n)=(1/3){1-Pi(n-1)} (n≧1; i=1,2,3,4)
この2項間漸化式を
初期条件:P1(0)=1/4,P2(0)=1/2、P3(0)=1/8、P4=1/8
のもとに解く.
Pi(n)=(-1/3)Pi(n-1)+1/3・・・(A) [=(-1/3)Pi(n-1)+(定数) の形より]
これが
Pi(n)-α=(-1/3){Pi(n-1)-α}
と等比数列の形に変形される条件より, α=1/4
すると(A)⇔ Pi(n)-1/4=(-1/3){Pi(n-1)-1/4}
数列{Pi(n)-1/4}は 初項Pi(0)-1/4, 公比-1/3 の等比数列であるから
一般項 Pi(n)-1/4=(-1/3)^n{Pi(0)-1/4}
[ここまでは初期条件の具体形は不要]
これにi=1,2,3,4の場合の初項を順に入れて整理すれば,
P1(n)=1/4, P2(n)=(1/4){1+(-1/3)^n}, P3(n)=P4(n)=(1/8){2-(-1/3)^n} (n≧0)
となります. ただしa^0=0です.
[補足]2項間漸化式のかなり基本的問題なので, 参考書等で類題を参照されると良いでしょう. ただし本問では,初項がn=1のときでなくn=0のときなので,(よくある"n-1"乗でなく,n乗になっています.)
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