数学の角度を求める問題（恐らく中学レベル）

数学での角度を求める問題での解法が分かりません。

添付の図を見ていただきたいのですが、これは正解を書いてしまうとx=60°です。
ただ、この解を見つけるまでのプロセスが分からないので質問させて頂いた次第です。
（尚、私は社会人になっていい大人なのですが、偶然見つけてしまったこの画像を興味本位で解こうとしたら解けず、ご助力を得られたらと思い質問しています）。

この逆のパターンの問題であれば中学レベルの問題として出題されるようです。
即ち、正方形の中にある上部の三角形が正三角形である（即ちx=60°である）と提示された後に、それでは下部の三角形における二等辺三角形の底角を求めなさい、と言うのであれば、あれよあれよとあっという間に解けてしまいます（正三角形の辺の長さ＝正方形の辺の長さなので横側にある三角形が二等辺三角形になること、その二等辺三角形の頂角は30度であることなどから簡単に算出できる）。

一方において、この問題の出題パターン、下部の二等辺三角形の底角が15°である時に上部のxの角度は何度であるのかを算出するには、単純に材料が不足しています。
それでは補助線を引けばいいのかというと、色々に試してみましたが、私ではどうにも角度を算出するのに有効な補助線が与えられませんでした。

これは、この問題を解くのに何か有効な補助線があるのでしょうか。
あるいは、最初に「仮に上部の三角形が正三角形であると仮定して」と言うような形で解かざるを得ないのでしょうか。
もしくは、これは正攻法（補助線を引いて解を求める）と言う方法では解を求めるのは不可能なのでしょうか。

No.9 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/01/31 11:27

>>できれば正三角形であることが分かっていない前提のアプローチを求めています。

No.6の回答は、上部の逆三角形が正三角形である事を前提としていませんよ。
良～く見るように。


下に正三角形を補助追加して合同三角形を作ってるだけ。

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/31 10:30

No.7へのコメントについてです。

> しかしそれは数学としてやってはいけないのではないかな、

　No.6を指して「予想を立てて、それを証明する」のはダメだ、とおっしゃるのであれば、No.7ならなおさらでしょう。（もちろん、それを明確にするためのNo.7です。）
　しかしそのご判断は趣味云々というより「我流が過ぎる」ってものではないかな。数学は「予想を立てて、それを証明する」ことによって進んできた。これが禁止なら、もはや数学じゃなくなってるんでは？

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/30 21:36

左の図はご質問の図の頂点に名前をつけただけのものです。

> この逆のパターンの問題であれば中学レベルの問題

というのをやってみましょう。

　まず、右の図を以下のように作図します。
(1) ABと同じ長さの線分A’B’を一辺とする正方形A’B’C’D’を描きます。
(2) 線分A’B’を一辺とし、頂点E’が正方形A’B’C’D’の内部にある正三角形⊿A’B’E’を描きます。
　以上で作図は完了です。すると、
(3)∠B’A’E’=60°だから、∠D’A’E’=30°。
(4) ⊿A’D’E’は二等辺三角形なので、∠A’D’E’=75°。だから∠E’D’C’=15°。
(5) 同様にして、∠E’C’D’=15°です。

　これがおっしゃるところの「中学レベルの問題」でありましょう。さて、

(6) 辺DC=辺D’C’、∠EDC=∠E’D’C’、∠ECD=∠E’C’D’ だから、⊿EDC≡⊿E’D’C’です。
(7)なので、辺DE=辺D’E’, 辺CE=辺C’E’です。
(8) ∠ADE=75°=∠A’D’E’であり、∠BCE=75°=∠B’C’E’です。
(9) 辺AD=辺A’D’ です。
(10) (7)〜(9)により、⊿ADE≡⊿A’D’Eです。
(11) 従って、辺AE=辺A’E=辺A’B’=辺ABです。
(12)ゆえに、⊿ABEは正三角形です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！　
前の回答者への御礼にも記載しましたが、これは解き方のアプローチの思想（趣味）として若干好みが分かれる感じであります。
質問での文章が不十全であった状態でした。失礼しました。

図中の上部の三角形が正三角形であることを証明せよ、と言うある程度の前提を与えられているのであればこの解法で正解かなと思います。

ただ、元の図で出題された我々としては、図中上部の逆三角形が正三角形であることは知らされていない（そういう仮定で使用してはいけない）、と言うところを、試しに「これってひょっとして正三角形なんじゃないか？　」と言う内容を作業仮説として使用し、それがたまたま合っていたから、実態としての正解はこれです、と示すアプローチの仕方ですよね？　
しかしそれは数学としてやってはいけないのではないかな、とも個人的に思っていますが、この手法での解を求めるアプローチは一応正解とされているのでしょうか。

あと図を綺麗に作図して頂いてありがとうございました。
もしできればですが、作図に使用したソフトなどあれば教えて下さい。

お礼日時：2021/01/31 00:52

No.6 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/01/30 16:27

では正攻法で。

下図で、正方形の下に正三角形を書き、xの頂点と下に書いた正三角形の頂点を結ぶ。
2等辺△の頂点と下の正三角形を結ぶ線は15°の2等辺△の底角である正方形の辺と直行する。
∴赤△の下の角度は30°。

赤△と黄色△は2辺が等しく、挟む角は75°で等しいから合同。
∴対応する黄色○=30°

右側も同じく30°

∴xを頂角とする三角形は正三角形

∴x=60°

この回答へのお礼

再度の回答ありがとうございます！　

前回答の御礼でも記載しましたが、図中の上部の逆三角形が正三角形であることが分かっていることを前提として証明を進めている形のアプローチなので（これも間違いじゃないと思うのですが）、できれば正三角形であることが分かっていない前提のアプローチを求めています。その解法はないでしょうか・・・？

お礼日時：2021/01/31 00:36

No.5 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/01/30 15:15

補助線は思いつかないので、三角関数で解いてみる。

sin15°=(√6-√2)/4
cos15°=(√6+√2)/4
下部の二等辺三角形の斜辺は三平方の定理より、
((√6+√2)/4)^2 + ((√6-√2)/4)^2
=(8+4√3)/16 + (8-4√3)/16
=1
正方形の1辺の長さは2×cos15°=(√6+√2)/2

角xをなす辺をLとすると、余弦定理より、
L^2=((√6+√2)/2)^2 + 1^2 - 2・((√6+√2)/2)・1・cos75°
=((√6+√2)/2)^2 + 1^2 - (√6+√2)・cos(45°+30°)
=((√6+√2)/2)^2 + 1^2 - (√6+√2)・(√3-1)/2√2
=((√6+√2)/2)^2 + 1^2 - (√6+√2)・(√6-√2)/4
=((√6+√2)/2)^2 + 1^2 - 1
=((√6+√2)/2)^2
L=(√6+√2)/2

よって、Lは正方形の1辺と等しいため、角xをなす三角形は正三角形。
ゆえに角xは60°

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！　
これが一番厳密ですね。
（個人的好みは作図からの解決を図りたかったですが・・・）

お礼日時：2021/01/31 00:32

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2021/01/30 15:13

正方形の1辺の長さをｂとします。

右辺の線ｂに接する三角形を、上から
反時計回りに頂点をABCとします。
ΔABCの面積は、1/2*底辺*高さ＝1/2*AC*(ACから頂点Bまでの距離）
＝1/2*b*b/2
又は、1/2*b*ABsin∠BACから
b/2=ABsin∠BAC=b*1/2, b=AB, 1/2= sin∠BACと考えると
∠BAC＝３０°
中央の二等辺三角形の底角は９０°ー３０°＝６０°
２つの底角は等しいので、ｘ＝１８０－１２０＝６０°

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！　
これが一番正攻法と言う印象です。
（個人的好みは作図からの解決を図りたかったですが・・・）

お礼日時：2021/01/31 00:31

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/01/30 14:35

チョット安易な方法だけど・・・

下図の左が質問と同じ元図

右側の図
正方形の中にコンパスを使ってAの作図をする。
・B図：赤点は1/4円周を3等分するので、赤線と青線を有する△は2等辺△で頂角30°、底角75°
・結果元図とB図の水色△は合同(1辺と両端の角が等しい)

元図とB図の赤線と青線を有する△同士は合同(2辺と挟む角が等しい）
つまり、元図の赤線と正方形の1辺の長さが等しい。
∴元図の赤○=60°
2辺が等しく挟む角が60度だから、赤△=正３角形

∴X=60°

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！　
他の方への御礼にも記載しますが、これは解き方のアプローチの思想（趣味）として若干好みが分かれる感じであります。
質問での文章が不十全であった状態でした。失礼しました。

図中の上部の三角形が正三角形であることを証明せよ、と言うある程度の前提を与えられているのであればこの解法で正解かなと思います。

ただ、元の図で出題された我々としては、図中上部の逆三角形が正三角形であることは知らされていない（そういう仮定で使用してはいけない）、と言うところを、試しに「これってひょっとして正三角形なんじゃないか？　」と言う内容を作業仮説として使用し、それがたまたま合っていたから、実態としての正解はこれです、と示すアプローチの仕方ですよね？　
しかしそれは数学としてやってはいけないのではないかな、とも個人的に思っていますが、この手法での解を求めるアプローチは一応正解とされているのでしょうか。

あと図を綺麗に作図して頂いてありがとうございました。
もしできればですが、作図に使用したソフトなどあれば教えて下さい。

お礼日時：2021/01/31 00:30

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/30 14:27

正方形の下辺を一辺として、

図の下側に正三角形を描け。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！　参考にさせて頂きます。

お礼日時：2021/01/31 00:24

No.1 回答者： かやの 回答日時： 2021/01/30 11:59

証明問題かなと思います。

全然細かい証明ができませんが…
たぶん、最終的には右辺と左辺の三角形は二等辺三角形
→上辺の三角形は三辺が同じ長さ
→正三角形であるから60度
という流れになるんじゃないですかね

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！　参考にさせて頂きます。

お礼日時：2021/01/31 00:18