正八面体ABCDEFの各面の重心を頂点とし、 隣合う面どうしの頂点を結ぶことによって、 正八面体の中

正八面体ABCDEFの各面の重心を頂点とし、
隣合う面どうしの頂点を結ぶことによって、
正八面体の中に立方体ができる。正八面体の
一辺の長さが6のとき、立方体の体積を求めよ。

の解き方が分かりません。解説も入れてくださると助かります。お願いします。

質問者からの補足コメント

• 答えは 16√2 になるらしいです。。。。。、

    補足日時：2019/01/30 10:37

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/30 14:50

座標軸を置いてみる手もあるかなあ。

この解法をヤシマ作戦と呼びますか(古

A(0,0,r)
C(r,0,0)
D(0,r,0) となる座標系が採れますね。
この座標で
B(0,-r,0) です。
正八面体の辺の長さから
CD = √(r^2 + r^2 + 0^2) = r√2 = 6 がわかります。

正三角形ACDの中心Gは
G = (A + C + D)/3 = (r/3,r/3,r/3)、
正三角形ABCの中心Hも同様に
H = (A + B + C)/3 = (r/3,-r/3,r/3)
ですから、
GH = (2/3)r = (2/3)(6/√2) = 2√2.
これが、中の立方体の一辺の長さです。

体積は、(2√2)^3 = 16√2.

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2019/01/30 13:16

No.1様補足

(2√2)^3=16√2

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/01/30 10:07

正三角形の重心は、30°60°の直角三角形で6等分するとわかるけど、、、

垂線（3√3）を1：2の割合で分けたものになる。

頂点（ＣとＢなど）が重なる形で見てみると
三角形ＡＤＦは直角二等辺三角形になり、ＡＤ＝ＤＦ＝6
なので、ＡＦ＝6√2になる。

なので、垂線の比と合わせ手考えると、直方体の一片の長さは
6√2を1：2の比率で分けたときの1の方になるので、2√2