座標平面上の点（p,q）はx²＋y²≦8、y≧0で表される領域を動く。点（p＋q、pq）の動く範囲を

座標平面上の点（p,q）はx²＋y²≦8、y≧0で表される領域を動く。点（p＋q、pq）の動く範囲を図示せよ。

という問題の、y≧0部分の処理の方法が分からない…

p、qを2解にもつ2次方程式t²−Xt＋Y＝0が実数解を持ち、そのうち少なくとも1つは正である
とかだったら、だめですよね、
線形計画法、とかも意味分からんですよね
もう無理…

対称式の考え方だけで解けますか？
他になんかテクニックとか入りますか？
簡単ですか？

解答はいらないので、
もし良かったら感想だけ聞かせてください…

軌跡の問題が全然解けないので凹んでます。(´•̥  ̯ •̥`)

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2019/04/14 17:42

y≧0の扱いがちょっと面倒ですが、こう考えればいいのでは？

p+q=X、pq=Yとおく。

まず、p²+q²≦8なので、
(p+q)²-2pq≦8
X²-2Y≦8
∴Y≧(1/2)X²-4　①

次に、X、Yはtの2次方程式t²-Xt+Y=0（※）の解であり、この方程式は実数解を持つから、
X²-4Y≧0
∴Y≦(1/4)X²　②

さらに、q≧0であるから、「※が少なくとも1つは正の解を持つ」ことが必要で、これは、
「※が負の解しか持たない場合」を除く、ということ。
pとqがともに負の場合というのは、p+q<0かつpq>0ということであるから、p+q=X、pq=Y
であることを考えると、X<0、Y>0を除けばよい。つまり、第2象限を除けばよい。　③

以上により、求める範囲は、上記①、②、③を全て満たす領域。（図は省略します）

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます
※が少なくとも1つは正の解を持つ
だったら、q≧0だけではなく、p≧0、q＜0の場合も含まれるんじゃないかって思ったんですけど、
それは大丈夫なんですか？

お礼日時：2019/04/14 17:54

No.3 回答者： springside 回答日時： 2019/04/14 22:24

すみません。

No.1の訂正です。

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誤：次に、X、Yはtの2次方程式t²-Xt+Y=0（※）の解であり、この方程式は実数解を持つから、
正：次に、p、qはtの2次方程式t²-Xt+Y=0（※）の解であり、この方程式は実数解を持つから、
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No.2 回答者： springside 回答日時： 2019/04/14 21:18

>>※が少なくとも1つは正の解を持つ

>>だったら、q≧0だけではなく、p≧0、q＜0の場合も含まれるんじゃないかって思ったんですけど、

pとqは対称で、かつ、まずpとqというものが固定されているわけではないです。
まずtの2次方程式の解があって、その次のステップとして、それらにpやqという名前を付けたわけです。
なので、要するに「少なくとも1は正の解を持つ」という状況さえ実現してやれば、その正の解をqとしてやればいいわけです。
（正の解を持ってくれれば、まず解を求めて、そのうち正の解をqと見なす、としてやればいいということ）

この回答へのお礼

分かりました‼
優しく教えてくださりありがとうございます！(*^^*)♪

お礼日時：2019/04/14 22:49