次のような四角形ABCDの面積を求めよ。 【問題】 円に内接し、AB=5、BC=3、CD=3、∠B=

次のような四角形ABCDの面積を求めよ。
【問題】
円に内接し、AB=5、BC=3、CD=3、∠B=60°

っていう問題の解き方が分かりません。
解説もいれてくださると助かります。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： takoハ 回答日時： 2019/03/01 15:40

円に内接する四角形の対角の和は、180°だから、∠ D=180- ∠B=180-60=120°

余弦定理より
AC^2=5^2+3^2ー2・3・5・cos60°=25+9ー30/2=34 - 15=19 ∴ AC=√19
余弦定理より、AD=xとすれば
AC^2=19=x^2 +3^2 ー2・3・x ・cos120°=x^2 +9 ー6x (ー1/2) = x^2 +9 +3x
∴ x^2+3x +9ー19=(x+5)(xー2)=0 ∴ x=2
よって、面積Sは、
S= (1/2)・5・3・sin60° +(1/2)・3・2・sin 120°=15√3 /4 + 6√3 /4=(21/4)・√3

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/02/28 22:56

いくつか解き方はあるかと思いますが、自分は円周角の定理と余弦定理を用いた回答を示します。

円周角の定理から、円に内接する四角形ABCDの対角の和は180°になります。
∠B=60°なので、∠D=120°になります。

次に、対角線CAを書くと、四角形ABCDは三角形ABCと三角形CDAに分割されます。
余弦定理より、

CA^2=AB^2 + BC^2 - 2×AB×BC×cosB
=5^2 + 3^2 - 2×5×3×cos60°
=25+9-(2×5×3×(1/2))
=25+9-15
=19

CA^2=CD^2 + DA^2 - 2×CD×DA×cosD
19=3^2 + DA^2 - 2×3×DA×cos120°
19=9 + DA^2 - (2×3×DA×(-1/2))
DA^2 + 3DA - 10=0
(DA+5)(DA-2)=0
DA>0より、DA=2

三角形ABCの面積は、AB×BC×sin60°×(1/2)=5×3×(√3/2)×(1/2)=(15√3)/4
三角形CDAの面積は、CD×DA×sin120°×(1/2)=3×2×(√3/2)×(1/2)=(3√3)/2

四角形ABCDの面積=三角形ABCの面積+三角形CDAの面積
=(15√3)/4 + (3√3)/2
=(21√3)/4

ゆえに、四角形ABCDの面積=(21√3)/4