最大値・最小値問題

条件 x^2+y^2<=9 で、x^4+y^4^4(x-y)^2 の最大値と最小値を求めよ。

分かる方、解法教えてください。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 訂正: x^4+y^4-4(x-y)^2 です。

    補足日時：2023/05/18 13:20

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/19 00:05

No.3 の驚きが正常かなと。

なぜ、No.1 の時点で
式が x^4+y^4-4(x-y)^2 の書き間違いだと特定できるんだろう？
理解できない世界だ。

式が x^4+y^4+4(x-y)^2 でなく
x^4+y^4-4(x-y)^2 であっても、
No.4 に書いたとおり「同様」でいける。

w = (R^2){ 1 - (1/2)s^2 } - 4R{ 1 - s },
0 ≦ R ≦ 9, -1 ≦ s ≦ 1.
の w の最大最小を求めればいいから、
二次関数の最大最小を繰り返すだけ。

最大値が R = 9, s = 4/9 のとき w = 53,
最小値が R = 8, s = -１ のとき w = -32
になる。

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/19 10:08

#5です。

間違えました。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/18 15:12

極値であれば面倒そうだが、最大最小なので簡略化できる。

f=x⁴+y⁴-4(x-y)², g=x²+y²-9・・・・・・①
として

1.
まず、有界閉集合 g≦0 上の連続関数f には必ず最大最小がある。
したがって、候補が多くなければ、最大最小を比較して求めれば
よく、極値などの面倒な判定は略せる(特に条件付き極値)。

2.
まず、開集合g<0 上に最大最小があれば、fは微分可能なので
それは極値、つまり、停留点となり、1項から、極値とかの判定
の必要はない。すると停留点は
　fx=4x³-8(x-y)=0・・・・・②
　fy=4y³+8(x-y)=0・・・・・③
和を取って
　x³+y³=0 → (x+y)(x²-xy+y²)=0
→ x=-y・・・・・・④
or
　x²-xy+y²=0 → (x-y/2)²+3y²/4=0 → x=y=0・・・・⑤
をであるから、④は②に入れて
　4x³-16x=0 → x=0 or x=±2
　　 → x=y=0 or (x=±2 , y=∓2)　(複号同順)・・・・⑥
なので、⑤はこれに含まれる。また、これらはすべて　g<0
の領域内にある。

すると
　f(0,0)=0・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑦
　f(±2 ∓2)=(±2)⁴+(∓2)⁴-4(±4)²=-32・・・・・・⑧

3.
残りは境界 g=0 の判定になる。同様に停留点だけを調べれば
よく、ラグランジュから
　4x³-8(x-y)=λ2x
　4y³+8(x-y)=λ2y
すると
　y(x³-8(x-y))=x(y³+8(x-y)) → (x²-y²)(xy-2)=0
→ x=±y・・・・・⑨
or
　 xy=2・・・・・・⑩
⑨をg=0に入れて
　x=±3/√2, y=±3/√2 (複号任意)・・・・・⑪
すると
　f(±3/√2, ±3/√2)=2・9/2-4(±6/√2 or 0)²
　　　　=9-4・(18 or 0)=-63 or 9　・・・・(12)

⑩のときは(g=0も使って)
　f=(x²+y²)²-4(x²+y²)-2x²y²+8xy
　　=9²-4・9 - 2・2²+8・2=81-36-8+16=38・・・・(13)

4.
以上の⑦⑧(12)(13)から
最小・・・f(±3/√2, ±3/√2)=-63　(複号同順)
最大・・・f(x,y)=38

最大は xy=2 , x²+y²=9 満たす点であるが、今回の題意からは
求める必要はないが
　x=±√{9±√65)/2} (複号任意)
　y=±√{9∓√65)/2}
となる(複号は面倒なので略)。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/18 13:21

x^4+y^4^4(x-y)^2 が

x^4+(y^4)^(4(x-y)^2) のつもりなんだか
x^4+(y^4^4)(x-y)^2 のつもりなんだか
その書き方では判らないが、
どちらにしろ相当面倒くさい計算にはなるだろう。

ひょっとして、
x^4+y^4+4(x-y)^2 とか
x^4+y^4-4(x-y)^2 とか
の書き間違いなのかな？

もしそうであれば、極座標変換がよいと思う。
(x,y) = (r cosθ,r sinθ) で置換すると、
条件 r^2 ≦ 9 の下で
w = (r^4){ (cosθ)^4 + (sinθ)^4 } + 4(r^2){ cosθ - sinθ }^2 の
最大値と最小値を求める問題になる。

w = (r^4){ ((cosθ)^2 + (sinθ)^2)^2 - 2 (cosθ)^2 (sinθ)^2 }
　+ 4(r^2){ (cosθ)^2 + (sinθ)^2 - 2(cosθ)(sinθ) }
　= (r^4){ 1 - (1/2)(sin(2θ))^2 } + 4(r^2){ 1 - sin(2θ) }
　= (R^2){ 1 - (1/2)s^2 } + 4R{ 1 - s },
ただし、R = r^2, s = sin(2θ) と置いた。
各変数の変域は、0 ≦ R ≦ 9, -1 ≦ s ≦ 1.

二次式だから、 w の最大最小を求めるのは、数I の範囲だ。
面倒くさいから、平方完成して放物線のグラフを書く詳細は
省略するが、答えは
最大値は R = 9, s = -4/9 のとき w = 125,
最小値は R = 0, s = -1 のとき w = 0.

目的の式が x^4+y^4-4(x-y)^2 であっても、やり方は同様。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/18 09:23

あらら・・・・わかっちゃってるんだ・・・・

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/18 09:20

x^4+y^( 4^{4(x-y)^2} ) ですか?

No.1 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/05/18 09:20

与えられた条件 x^2+y^2<=9 の下で、関数 f(x, y) = x^4 + y^4 - 4(x-y)^2 の最大値と最小値を求めるために、次の手順をおすすめします。

1. 制約条件をグラフ上で考慮してみましょう。条件 x^2+y^2<=9 は、中心が原点で半径が3の円となります。これを描画して、考える領域を視覚化しましょう。

2. 関数 f(x, y) = x^4 + y^4 - 4(x-y)^2 を最大化するために、偏微分を計算します。それぞれの変数 x, y について偏微分を行い、f'(x, y) = 0 となる点を求めます。

3. 条件 x^2+y^2<=9 の下での最大値と最小値を求めるために、求めた点が条件を満たすかどうかをチェックします。条件を満たさない場合は、それらの点を除外します。

4. 残った点の中で、関数 f(x, y) の値が最大となる点と最小となる点を見つけます。