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三角形ABCにおいて、AB=2、BC=7、CA=Xとする。

三角形ABCの外接円の半径が最小のときのcosCの値、またこのときのXの値と内接円の半径を求めよ。

問題が分かりません。解説回答お願いします。

A 回答 (2件)

外接円の半径が最小の場合は、三角形のある辺が直径になる時なので、


AB<BCであるので、BCが直径になるとき。
タレスの定理より∠A=π/4、sinA=1

正弦定理 
AB/sinC=BC/sinA=CA/sinB=2R
2R=7
2/sinC=7/sinA=X/sinB=7
sinA=1
sinC=2/7 → sinが求まったなら sin^2+cos^2=1 の公式よりcosが求まる
(cosC)^2=1-4/49=45/49
cosC=3√5/7

余弦定理より、
cosC=(BC^2+CA^2-AB^2)/2BC・CA
3√5/7=(7^2+X^2-2^2)/2・7・X
6√5・X=49+X^2-4
X^2-6√5X+49=0
(X-3√5)^2=0
X=3√5
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途中で送ってしまいました。



内接円の半径はヘロンの公式より
r=2S/(CA+AB+BC)
Sは∠Aが直角なので
2S=CA×AB=6√5
∴r=6√5/(3√5+2+7)
=2√5/(√5+3)
=2√5・(√5-3)/(5-9)
=(5-3√5)/(-2)
=(3√5-5)/2
 
外接円の半径R=7
cosC=3√5/7
X=3√5
内接円の半径r=(3√5-5)/2

外接円の半径が7で最小に気が付けば楽だと思います。
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