【三角関数を含む方程式・不等式】 0≦x＜2πのとき、次の方程式、不等式を解け。 (1)sinX-c

【三角関数を含む方程式・不等式】
0≦x＜2πのとき、次の方程式、不等式を解け。
(1)sinX-cosX=-1/√2


(2)√3sinX+cosX≦√2


の問題が分かりません。

解説まで書いてくれると助かります。

答えは(1)X=π/12、17π/12

(2)0≦X≦π/12、7π/12≦X＜2π です。

お願いします。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/08/16 21:22

0≦X＜2π　←　Xの範囲　

唐突に　√2　や　√3　が出てきたら、加法定理の問題だとまず考えてみる

(1)
sinX-cosX=-1/√2　←　両辺に√2/2をかける
(√2/2)･sinX　-　(√2/2)･cosX=-1/2
cos(π/4)･sinX　-　sin(π/4)･cosX=-1/2　←　これに加法定理を使う
sin(X-π/4)=-1/2
∴X-π/4=7π/6　→　X=14π/12+3π/12=17π/12
X-π/4=23π/12　→　X=22π/12+3π/12=25π/12=π/12

(2)√3sinX+cosX≦√2　←　両辺に1/2をかける
(√3/2)･sinX　+　(1/2)･cosX≦√2/2
cos(π/6)･sinX　+　sin(π/2)･cosX≦√2/2　←　これに加法定理を使う
sin(X+π/6)≦√2/2　←　これからXの範囲を求める
(X+π/6)≦π/4　→X≦π/4-π/6=π/12　→　0≦X≦π/12　　　　　　　　↓これは範囲に外れる
3π/4≦(X+π/6)≦7π/4　→　3π/4-π/6≦X≦9π/4-π/6　→　7π/12≦X≦25π/12　→　7π/12≦X<2π

解説というけれど、加法定理の問題で計算過程は意外と単純です。
sin(X+a)=値　にしてから、()の中を決めていくのが面倒というか混乱しやすいですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
加法定理の問題が自力できるように頑張ります！
助かりました！

お礼日時：2020/08/16 21:27