数Ⅱ 三角関数 問 0≦x<2πのとき,次の不等式を解け。 cos²x-2cosx-sin²x+2s

数Ⅱ 三角関数

問 0≦x<2πのとき,次の不等式を解け。
cos²x-2cosx-sin²x+2sinx≧0

解答
与えられた不等式から
cos²x-sin²x-2(cos x -sin x)≧0
よって
(cosx-sinxX)(cosx +sin x-2)≧0 ......①
cosx+sinx-2=√2sin(x+π/4)-2<0
であるから,①より cosx-sinx≦0
よって √2sin(x-π/4)≧0
ゆえに
sin(x-π/4)≧0.....②
また,0≦xく2πから -π/4≦x-π/4<7/4π
よって,②から 0≦x-π/4≦π
したがって π/4≦x≦5/4π

解答4行目までは分かるのですか、なぜ4行目から5行目(cosx+sinx-2=√2sin(x+π/4)-2<0)のようになりその後なぜこのような解答になるのか分かりません。

とくに5行目と7行目(√2sin(x-π/4)≧0)が分かりません。理解できないので教えて下さい！お願いします☺︎

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/20 12:10

つづきです

√２{sinxcos(π/4)+cosxcos(π/4)}＝√2sin(x+(π/4))という形にたどり着きました

で、-1≦sin(x+π/4)≦１（←←←参考:x+π/4=Aとおけば　-1≦sinA≦1　だから　Aを元に戻せば-1≦sin(x+π/4)≦１・・・これも単位円を使えると理解は早い）
両辺√２倍で
-√2≦√2sin(x+π/4)≦√2
このことから、√2sin(x+π/4)は、√2=1.414を超えることがないことがわかります
よって、√２を超えないものから２を引いたものはマイナスで
cosx+sinx-2=√2sin(x+π/4)-2<0であることがわかります
（ｘがどんな数字であっても、√2sin(x+π/4)-2<0）

ゆえに、(cosx-sinx)(cosx +sin x-2)≧0 ......①は
(cosx-sinx)・(マイナスの数値)≧0 という状態です
この不等式が成り立つためには　０ｘ(マイナスの数値)、または、（マイナスの数値）ｘ（マイナスの数値）であればよいので
cosx-sinxは０かマイナスということになります
つまり、cosx-sinx≦0
両辺マイナス倍で
sinx-cosx≧０です

(sinx-cosx)について、先ほどと同じ要領で三角関数の合成を行うと
sinx-cosx=√2sin(x-π/4)ですから
sinx-cosx=√2sin(x-π/4)≧０と言うことになります
両辺1/√2倍で
sin(x-π/4)≧0・・・②

ここで　
0≦xく2πから　全体に-π/4をしてあげると、 -π/4≦x-π/4<7/4πです
分かりやすくx-π/4＝Aとおくと
sinA≧0・・・②'、-π/4≦A<7/4πという状態です

できれば単位円、分からなければ三角関数のグラフを見ることにより
不等式②'を満たすAの範囲は　0≦A≦πですから　Aを元に戻せば
0≦x-π/4≦π　が得られます
全体に+π/4を行って
π/4≦x≦5/4πとなります

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます！
とても分かりやすかったです。
1番初めに回答して下さったのでベストアンサーに選ばさせてもらいました！ありがとうございました☺︎

お礼日時：2020/08/20 13:42

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/20 12:16

＞ 続きお願いします！

7行目まで No.2 に書いといたけど？

②以降も解説が必要だってんなら、質問の趣旨が途中で変わってしまうことになるが、
一応書いとこか。
0 ≦ x < 2π より -π/4 ≦ (x - π/4) < (7/4)π になるから、
この範囲で sin(x - π/4) ≧ 0 となる (x - π/4) は
y = sinθ のグラフを考えれば、0 ≦ (x - π/4) ≦ π.
すなわち、π/4 ≦ x ≦ (5/4)π.

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました☺︎
とても分かりやすかったです。助かりました！

お礼日時：2020/08/20 13:43

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/20 11:29

4行目ってことは、①だね。

①は、余分な X を消して
(cos x - sin x)(cos x + sin x - 2) ≧ 0 ......①
に訂正しとこう。

不等式の基本通り処理すると、その次は
{ cos x - sin x ≧ 0 かつ cos x + sin x - 2 ≧ 0 } または
{ cos x - sin x ≦ 0 かつ cos x + sin x - 2 ≦ 0 }
になる。
それぞれを解いて、あとで併せればよいのだけれど、
どうなるだろうか。

三角関数の入った不等式を 4 本解くはめになりそうに見えるが、
ラッキーなことに、cosx + sin x - 2 ≧ 0 に解が無いことはすぐ判る。
加法定理によって
cos x + sin x = (√2){ (1/√2)cos x + (1/√2)sin x }
= (√2){ sin(π/4)cos x + cos(π/4)sin x }
= (√2)sin(x + π/4) ≦ √2 < 2　だからだ。
これが、５行目の内容。

同時に cos x + sin x - 2 ≦ 0 は常に成り立つことになるので、
①は
{ cos x - sin x ≧ 0 かつ 偽 } または
{ cos x - sin x ≦ 0 かつ 真 }
であることが判って、要するに
cos x - sin x ≦ 0 と同値である。 ......②’
これが６行目。

７行目は、②’ を解くために、５行目とよく似た変形をして、
0 ≧ cos x - sin x = (√2){ (1/√2)cos x - (1/√2)sin x }
= (√2){ sin(π/4)cos x - cos(π/4)sin x }
= (- √2)sin(x - π/4).
よって、 (√2)sin(x - π/4) ≧ 0 であり、
sin(x - π/4) ≧ 0 ......②

5行目と7行目の式変形を、高校の教科書では「三角関数の合成」と呼んでいる。
a sin x + b cos x に対して r = √(a^2+b^2) とすると
a sin x + b cos x = r { (a/r) sin x + (b/r) cos x } と変形できて、
(a/r)^2 + (b/r)^2 = 1 より cos c = a/r, sin c = b/r となる c が存在する。
加法定理を使って
a sin x + b cos x = r { (cos c)(sin x) + (sin c)(cos x) } = r sin(x+c)
と変形できる。 三角関数がひとつにまとまることになる。

余談だが、これを「合成」と呼ぶのは、言語感覚がまともではない。
「三角関数を合成する」と言われれば、普通の人は sin(cos x) のようなものを想像する。
学習指導要綱の編集者はそうではなかったというだけの話だが、
「加法定理を使って」くらいの言い方が穏当であるとは思う。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/08/20 13:39

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/20 11:17

cosx+sinx=√2sin(x+π/4)　これは三角関数の合成と呼ばれ以下のようにします

cosx+sinx=1sinx+1cosxとみなして係数を見ます
sinxの係数１を底辺、cosxの係数１を高さとする直角三角形を考えると
三平方の定理などのより斜辺は√２
よって斜辺√２でくくりだしを行うと
cosx+sinx=1sinx+1cosx=√２{sinx(1/√2)+cosx(1/√2)}…①
ここで　加法定理：sin(x＋a)=sinxcosa+cosxsina と①右辺を見比べると
cosa=1/√2、sina=1/√2という対応関係にあることがわかるので
これを満たすaはa=π/4 (∵cos(π/4)=1/√2,sin(π/4)=1/√2)とわかり
①の続き＝√２{sinxcos(π/4)+cosxcos(π/4)}　と変形できることがわかります←（{sinx(1/√2)+cosx(1/√2)}⇔sinxcos(π/4)+cosxcos(π/4)）
で加法定理のaに当てはまるのは今回a=π/4ですから
sinxcosa+cosxsina→sin(x＋a)という変形により
√２{sinxcos(π/4)+cosxcos(π/4)}＝√2sin(x+(π/4))という形にたどり着きます

ここまで理解できましたか？
理解できたなら続きを解説いたします

この回答へのお礼

ありがとうございます☺︎ここまで理解できました！続きお願いします！

お礼日時：2020/08/20 11:41