角a(0≦a＜2π)を3倍したら4分のπの動径と一致した。aを求めよ。 わかる方教えてくださいお願い

角a(0≦a＜2π)を3倍したら4分のπの動径と一致した。aを求めよ。

わかる方教えてくださいお願いします

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/05 12:19

図のように、Oを中心に、OXの位置から半直線OPを回転させるとき

このOPを動径
OPの最初の位置の半直線OXを始線
始線から動径までの角度を反時計回りに計ったものを、正の角と言います

本問では、正の角4分のπの動径と
正の角が3aの動径が重なるという事です。
注意すべきは、4分のπの動径は、これを１回転した9π/4の動径と重なるということです。２回転、3回転・・・のものも重なります（-1回転、-2回転・・・も同様に重なります）これらは重なっているので同一です。
したがって
3a=Π/4
であり
3a=9Π/4
であり
3a=17Π/4
であり
・
・
・
3a=-7Π/4
でもあります・・・①
このなかから0≦a＜2Πに合うものを探せばよいのです。
3a=Π/4ならa=Π/12
3a=9Π/4ならa=3Π/4
3a=17Π/4ならa=17Π/12

3a=25Π/4ならa=25Π/12・・・これは0≦a＜2Πの範囲外
以降aの範囲に合わない

また、3a=-7Π/4ならa=-7Π/12でこれも0≦a＜2Πの範囲外
以降3a=-15Π/4
・
・
・
もaの範囲に合わない
したがって
a=Π/12
a=3Π/4
a=17Π/12
の３つが答えです。

ただし、答案にはこれらをひとまとめにして①以降以下のようにするのがスマートです
3a=Π/4+2nΠ（nは整数）とあらわせます。
（例 :n=1なら、3a=Π/4+2nΠ=9Π/4を表す）
⇔a=Π/12+2nΠ/3（両辺1/3倍）・・・②
さてここで、aには条件(範囲)がありますから、これにあうものだけを考えます
0≦a＜2Π
⇔0≦Π/12+2nΠ/3＜2Π
⇔0-Π/12≦(Π/12+2nΠ/3)-Π/12＜2Π-Π/12
⇔-Π/12≦2nΠ/3＜23Π/12
⇔-Π/4≦2nΠ＜23Π/4・・・おのおの3倍
⇔-1/8≦n<23/8・・・おのおの2Πで割った
これに当てはまる整数ｎは
n=0,1,2
②から
n=1ならa=Π/12+2nΠ/3=9Π/12=３Π/4
n=2→a=17Π/12
順番が前後しましたがn=0→a=Π/12

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/01/05 06:15

角a

(
0≦a＜2π…(1)
)
を3倍したら(π/4)の動径と一致した

nを整数とすると
3a=(π/4)+2nπ…(2)
↓両辺を3で割ると
a=(π/12)+2nπ/3…(3)

(1)の各辺に3をかけると
0≦3a<6π
↓これに(2)を代入すると
0≦(π/4)+2nπ<6π
↓各辺から(π/4)を引くと
(-π/4)≦2nπ<6π-(π/4)
↓各辺を2πで割ると
-1/8≦n<3-1/8
-1/8≦n<2+7/8
↓nは整数だから
0≦n≦2
これと(3)から
n=0の時a=π/12
n=1の時a=(π/12)+2π/3=9π/12
n=2の時a=(π/12)+4π/3=17π/12
∴
a=π/12
又は
a=9π/12
又は
a=17π/12