tan(z)をローラン展開して tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+… と

tan(z)をローラン展開して

tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+…

とすると

右辺の
-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)
が
1次までの近似式です
これを
f1(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)
とすると

z=π/2+0.001
での

f1(π/2+0.001)=(-1/0.001)+(0.001/3)
↓-1/0.001=-1000だから
f1(π/2+0.001)
=-1000+0.00033333
=-999.999666666…
が
近似値です

と教えて頂いたのですが、
z=π/2ではなくz=π/2+0.001の場合はtan(z)の分母は0にならないためテイラー展開も出来て、テイラー展開の近似式からz=π/2+0.001の時の近似値も求められると思うのですが正しいでしょうか？

仮に正しい場合はz=π/2+0.001の場合、tan(z)のテイラー展開の近侍式からtan(π/2+0.001)の時の近似値を求めるまでを教えて下さい。


また、こちらに載せたローラン展開は1次までの近似式ですが、仮に3次や5次などの次数を増やしたら、それだけz=π/2+0.001の時の近似値の精度も上がるのでしょうか？

最後に画像について疑問があります。
「z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開するというのは全く違う意味です。」と言われたのですが、
z=0.001におけるf(z)も
z=0.001周りで展開するf(z)の式も元は同じf(z)の式であるため、
z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値は同じなのではないかと考えています。
もし、z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値が異なる場合はなぜ異なるのか教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• なぜ正則ではないのでしょうか？
  
  z=1(z→1)の時、
  lz-1lはl1.0001-1l=0.0001<rとなり、
  
  0<r<2
  D=(zllz-1l<r}の条件を満たしていると想うのですが、なぜ正則ではないのかわかりません。
  
  申し訳ないのですがわかりやすく教えて頂けないでしょうか。
  どうかよろしくお願い致します。
  
  また、最後に画像についてもお答えして頂けるとありがたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/01/18 09:32

• 2023.1.19 19:42の解答より
  z=1とz=-1を
  f(z)=1/(z^2-1)
  の正則でない点といいます
  
  との事ですが、
  g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)に関して、
  n≧-1の時z=1は正則で
  n≦-2の時はz=-1は正則でした。
  
  f(z)=1/(z^2-1)に関してローラン展開をしているならば、
  なぜg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)に関して
  f(z)=1/(z^2-1)では正則でないといわれたz=1とz=-1は正則だと言われたのでしょうか？
  
  f(z)=1/(z^2-1)についてローラン展開したはずが、g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)についてローラン展開したような感じがしてしまいます。

    補足日時：2023/01/23 18:39

• ii)r>2の場合
  中心1半径r>2の円
  |z-1|=r
  の内側
  |z-1|<r>2
  です
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
  の
  分母が0になる特異点は
  
  n≦-2の時z=-1(単純に分母が(z+1)のみになり、
  z=-1の時は|z-1|=rはr=2となりr>2の範囲を満たさない、かつ近似としてz→-1として
  |z-1|=2.001より|z-1| は内側r>2の範囲に含まれるのでz=-1は特異点であり、正則でないためz=-1の場合が入る。)
  となり、()の内容よりz=1は正則だとわかりました。

    補足日時：2023/01/24 22:36

• どうもありがとうございます。
  ちなみに、
  
  a(n-k)=(1/n!)lim_{z->c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を
  k=1として、
  a(n-1)=(1/n!)lim_{z->c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)}
  
  a(n)=(1/(n+1)!)lim_{z->c}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-c)}
  としてからcにπ/2を代入して
  a(n)=(1/(n+1)!)lim_{z->π/2}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-π/2)}とした式と
  画像の赤い下線部の式は同じ式でしょうか？
  
  画像の式は(d^(n+1)/dz)^(n+1)となっていますが。
  
  仮に同じ式の場合は同じ式であることを証明していただけるとありがたいです。

  
    補足日時：2023/01/25 06:31

• 補足で申し訳ありません。
  
  念の為にお聞きしたいのですが、
  なぜ画像の青い四角の部分は
  紫の四角の部分であるres(◯,□)の○の位置に入るのでしょうか？
  
  定義だからとかではなく理由を教えて頂きたいです。
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/01/25 06:50

• どうもありがとうございます。
  補足である
  2023.1.25 06:31
  2023.1.25 06:50
  に載せた質問に答えて頂けるとありがたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/01/26 21:03

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/25 04:01

i)

0<|z-1|=r<2 の場合

z=-1
が範囲に入っていると仮定すると

内側|z-1l<r<2より|-2l<r<2となり2<r<2
2<2
となって
2=2に矛盾するから

z=-1は
|z-1|<2の範囲外なのです

|z-1|=r<2
なのだから

|z-1|=r=2.001
となると仮定すると
2>r=|z-1|=r=2.001>2
2>2
となって
2=2に矛盾するから

|z-1|=r=2.001
となることはあり得ないのです

内側|z-1l<r<2のzに-1を代入して2<r<2の範囲に含まれ(不等式が成り立た)ないため、

z=-1は
|z-1|<2の範囲外なのです

z=-1は特異点だけれども
展開の定義域|z-1|<2の範囲外なので
z=-1を扱わないだけの事であって
z=-1は正則でないのです
|z-1|=r<2 の内側
|z-1|<r<2 だけにある特異点を扱うので

z=-1は
|z-1|<2の範囲外なのです

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/23 19:53

違います

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
が
z=1で正則なのは
n≦-2
の時です

i)
0<|z-1|=r<2 の場合は
z=-1は0<|z-1|<2の範囲外です

f(z)=1/(z^2-1)
f(z)=1/{(z+1)(z-1)}
は
z=1
z=-1
で分母が0になるから正則でない

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

i)
0<|z-1|=r<2 の場合
z=-1は0<|z-1|<2の範囲外

n≧-1の時
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
は
z=1で正則でない

n≦-2の時
g(z)=(z-1)^(-n-2)/{(z+1)
は
z=1で正則である

ii)
2<r<|z-1| の場合

n≧-1の時
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
は
z=1で正則でない
z=-1で正則でない

n≦-2の時
g(z)=(z-1)^(-n-2)/{(z+1)
は
z=1で正則で
z=-1で正則でない

この回答へのお礼

>>
i)
0<|z-1|=r<2 の場合
z=-1は0<|z-1|<2の範囲外

n≦-2の時
g(z)=(z-1)^(-n-2)/{(z+1)
は
z=1で正則である


に関して、z=-1も
内側|z-1l<r<2より|-2l<r<2となり2<r<2となるため、また、
近似としてz→-1の時に
|z-1|=r=2.001となり|z-1|は
内側|z-1l<r<2のzに-1を代入して2<r<2の範囲に含まれ(不等式が成り立た)ないため、
z=-1は特異点ではないため正則と言えるため、z=1だけでなく、z=-1も正則だと考えたのですが、なぜz=1だけが正則なのでしょうか？

お礼日時：2023/01/24 22:13

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/20 04:12

f(z)=1/(z^2-1)

は
z=1で
f(1)=1/0=∞
となって
f(1)を定義できないから

f(z)=1/(z^2-1)
は
z=1で正則でないのです
と
最初にかいてあります

この回答へのお礼

ありがとうございます！

ちなみに、
もし、f(z)=1/(z^2-1)について
2<rの時の場合わけがあれば教えて頂けないでしょうか。

お礼日時：2023/01/20 04:24

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/19 19:42

f(z)=1/(z^2-1)

は
z=1で
f(1)=1/0=∞
となって
f(1)を定義できないから

f(z)=1/(z^2-1)
は
z=1で正則でないのです

z=-1で
f(-1)=1/0=∞
となって
f(-1)を定義できないから

f(z)=1/(z^2-1)
は
z=-1で正則でないのです

z=1とz=-1を
f(z)=1/(z^2-1)
の正則でない点といいます

(z≠1)かつ(z≠-1)のとき
f(z)=1/(z^2-1)
は
正則なのです

0<r<2
となるrに対して
|z-1|<r となるすべてのzの集合
D={z||z-1|<r}
に対して

z=1のとき|z-1|=0<rだから

|z-1|<r となるすべてのzの集合
D={z||z-1|<r}
には
1が含まれているのです

|z-1|<r となるzの中に
正則でない点
z=1
があるから

f(z)=1/(z^2-1)
は
D={z||z-1|<r}
で正則でないのです
--------------------
0<r<2
となるrに対して
|z-1|=r となるすべてのzの集合
C={z||z-1|=r}
に
z=1が含まれていると仮定すると
|z-1|=|1-1|=0<r=|z-1|
|z-1|<|z-1|
となって
|z-1|=|z-1|に矛盾するから
C={z||z-1|=r}
には
z=1が含まれていないのです
だから
z∈C={z||z-1|=r}→z≠1
が成り立つ

C={z||z-1|=r}
に
z=-1が含まれていると仮定すると
|z-1|=|-1-1|=2>r=|z-1|
|z-1|>|z-1|
となって
|z-1|=|z-1|に矛盾するから
C={z||z-1|=r}
には
z=-1が含まれていないのです
だから
z∈C={z||z-1|=r}→z≠-1
が成り立つ

|z-1|=r となるすべてのzの集合
C={z||z-1|=r}
の要素zに対して
(z≠1)かつ(z≠-1)
だから

f(z)=1/(z^2-1)
は
C={z||z-1|=r}
で
正則なのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「0<r<2
となるrに対して
|z-1|<r となるすべてのzの集合
D={z||z-1|<r}
に対して

z=1のとき|z-1|=0<rだから

|z-1|<r となるすべてのzの集合
D={z||z-1|<r}
には
1が含まれているのです

|z-1|<r となるzの中に
正則でない点
z=1
があるから

f(z)=1/(z^2-1)
は
D={z||z-1|<r}
で正則でないのです」
について、

「z=1のとき|z-1|=0<rだから

|z-1|<r となるすべてのzの集合
D={z||z-1|<r}
には
1が含まれているのです」

の部分は理解できます。

しかし、その先の
「|z-1|<r となるzの中に
正則でない点
z=1
があるから
」について、

なぜいきなりz=1が正則でないと書かれた理由がわかりません。

お礼日時：2023/01/20 04:09

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/18 16:14

0<|z-1|<2 となるような　z で

f(z)=1/(z^2-1)
は
正則だといっているのです

z=1では　条件0<|z-1|<2 を満たしていないから
z=1では　
f(z)=1/(z^2-1)
は
正則でないのです

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/18 15:09

rがD=(zllz-1l<r}の条件を満たしているという言い方はおかしいのです

D=(zllz-1l<r}
は
与えられたrに対して
|z-1|<r となるようなすべてのzの集合を表しているのです
だから
rに対して
zが条件lz-1l<rを満たすと言わなければいけません


0<r<2
C={z||z-1|=r}
とすると
zは　0<|z-1|<2 という条件を満たしているから

f(z)=1/(z^2-1)
は
z∈C で正則

D={z||z-1|<r}
とすると
zは　z=1のとき|z-1|=0となって、0<|z-1|<2 という条件を満たしていないから

f(z)=1/(z^2-1)
は
z∈D で正則でない

この回答へのお礼

ありがとうございます。

i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 0<|z-1|<2となるのはわかりました。

しかし、この時はzの値は決まっていないのでしょうか？
仮にz=1とかならば0<|z-1|<2は0<|1-1|<2となり条件を満たしていないため正則にならないとなります。




補足で申し訳ありません。
質問が2つあります。

質問①
「i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 0<|z-1|<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1」
との事ですが、
0<r<2でn≧-2の時の場合わけが書いていなかったのですが0<r<2でn≧-2の時の場合わけはなぜないのでしょうか？

質問②
「ii)r>2の場合、
中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2
です
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1,z=-1
と
n≦-2の時z=-1」
と教えて頂いたのですが、
n≦-2の時、例えばn=-2とした場合
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の分母は1になるため、
分母は特異点を持たなくなると思うのですが、なぜn≦-2の時z=-1の特異点を持つと言えるのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/01/18 15:56

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/18 15:07

＞ f(z)=1/(z^2-1)は

＞ z=1でlz-1l<rで正則だと考えてしまうのですが、

「z=1でlz-1l<rで正則」って、どういう日本語や？ 意味判らん。
1 ∈ D であることは解ったの？

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/18 14:58

rがD=(zllz-1l<r}の条件を満たしているという言い方はおかしいのです

D=(zllz-1l<r}
は
与えられたrに対して
|z-1|<r となるようなすべてのzの集合を表しているのです
だから
rに対して
zが条件lz-1l<rを満たすと言わなければいけません

では

0<r<2
C={z||z-1|=r}
とすると
f(z)
は
z∈C で正則だけれども

D={z||z-1|<r}
とすると
f(z)
は
z∈D で正則でない

というのはわかりますか?

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/18 14:49

＞ なぜ正則ではないのでしょうか？

微分可能性以前に連続ですらないじゃん。
1 ∈ D だが、 f(1) の値は？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

0<rが0<r<2に含まれているため、
rがD={zIlz-1<r}の条件を満たしているため、
f(z)=1/(z^2-1)は
z=1でlz-1l<rで正則だと考えてしまうのですが、

f(z)=1/(z^2-1)のzに1を代入した場合、分母は0になり式は成り立たないため正則にならないという事でしょうか？

お礼日時：2023/01/18 15:04

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/18 11:41

rがD=(zllz-1l<r}の条件を満たしているため

何が、どこで　正則だと思ったのでしょうか?

「
何が
」
「
どこで
」
を明らかにしてください

この回答へのお礼

0<rが0<r<2に含まれているため

rがD=(zllz-1l<r}の条件を満たしているため

f(z)=1/(z^2-1)(何)は
z=1でlz-1l<r(どこで)で正則だと思いました。

お礼日時：2023/01/18 11:53