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tanz/(z-π/2)=-1/(z-π/2)^2+Σ[n]an
と置けるのは何故ですか?

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はh(z)/(z-π/2)^(n+2)と表せて
tan(z)/(z-π/2)=h(z)/(z-π/2)^2と出来ますが、
なぜtanz/(z-π/2)=-1/(z-π/2)^2+Σ[n]anとも出来るかがわかりません。

Σ[n]anのnは0〜nを表しているのでしょうか?
なぜΣ[n]anの0〜nの中でn=2だけ別に
-1/(z-π/2)^2と書かれたのかが特にわかりません。

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

  • f(θ)=sinθ/cosθに関して、
    f(θ)=sinθ/cosθをθ=π/2のまわりでローラン展開したいと思います。
    そこで質問が2つあります。

    質問1.
    θ→π/2として、
    なぜ
    f(θ)が負のべき乗を持つ時は発散し、
    f(θ)が負のべき乗を持たない時は収束するのでしょうか?

    質問2.
    g(θ)=(θ-π/2)f(θ)に関して、
    θ→π/2として、
    なぜ
    f(θ)のべき乗が(-2)より大きい時は
    lim{θ→π/2}g(θ)は発散し、
    f(θ)のべき乗が(-1)から始まる時は
    lim{θ→π/2}g(θ)は発散しないのでしょうか?

    わかりやすく教えて頂きたいです。


    に関して、質問2に関しては
    nが-2より大きい-1や0などの時は特異点であるため(発散するため)、nが-2より大きい時はローラン展開が出来るわけですね!

    正しいでしょうか?

      補足日時:2022/09/10 22:56
  • ありものがたりさん。
    ありがとうございます。

    あの
    n = -2だけ特別扱いさる理由をもう少しわかりやすく教えて頂けないでしょうか?

      補足日時:2022/09/11 18:23

A 回答 (2件)

> n = -2だけ特別扱いさる理由をもう少しわかりやすく教えて頂けないでしょうか?



No.1 に書いたけどな...
(tan z)/(z - π/2) は π/2 に位数 2 の極を持つので、
π/2 を中心としたローラン展開は
(tan z)/(z - π/2) = Σ[k=0→∞] (c_k)(x - π/2)^(k-2)
の形となる。これを
(tan z)/(z - π/2) = Σ[n=-2→∞] (a_n)(x - π/2)^n
と書いてもいいし、
(tan z)/(z - π/2) = (a_{-2})/(z - π/2)^2 + (a_{-1})/(z - π/2)                +Σ[n=0→∞] (a_n)(x - π/2)^n      ←[2]
と書いてもいい。
[2] の式形では、n = -2 と n = -1 が特別扱いされているが、
この 2項がこのローラン展開の主要部であって、
n=0→∞ の Σ が正則部分になっている。
「n = -2だけ」が特別扱いされているように見えるのは、
たまたま a_{-1} = 0 であって
[2] 式から (a_{-1})/(z - π/2) の項が消えるからだ。
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    • 3
この回答へのお礼

ありがとうございます。

出来れば

S=Σ(n=0,N-1)e^cn=Σ(n=0,N-1)(e^c)n (初項1,項比e^cの等比級数の和)
=(1-(e^c)^N)/(1-e^c)
1-(e^c)^N=1-e^[i2πk/N×N]=1-e^[i2πk]
において、Σ(n=0,N-1)(e^c)n (1-(e^c)^N)/(1-e^c)からシグマが消えて=(1-(e^c)^N)/(1-e^c)
1-(e^c)^Nとなったのか過程の計算を教えてください。

お礼日時:2022/09/13 20:37

特別扱いされているのは、n = 2 じゃなく


n = -2 ですよ。大丈夫ですか?

まず、lim[z→π/2] (tan z)(z - π/2)^m が収束するような最小の m
を探しましょう。
(tan z)(z - π/2)^m = (cot u)u^m ; u = π/2 - z
= { (cos u)u^m }/(sin u) ={ u^(m-1) } (cos u){ u/(sin u) }
なので、
m≧1 のとき lim[z→π/2] (tan z)(z - π/2)^m
= lim[u→0] { u^(m-1) } (cos u){ u/(sin u) } = 0.
m<1 のとき lim[z→π/2] (tan z)(z - π/2)^m は発散します。
lim[z→π/2] (tan z)(z - π/2)^m が収束するような最小の m
は m=1 で、これはつまり
tan z は z = π/2 に位数 1 の極を持つということです。

ということは、 (tan z)/(z - π/2) は π/2 に位数 2 の極を持ちます。
{ (tan z)/(z - π/2) }(z - π/2)^2 が z = π/2 で正則になるので、
これをテイラー展開して
{ (tan z)/(z - π/2) }(z - π/2)^2 = Σ[k=0→∞] (c_k)(x - π/2)^k ←[1]
と書きましょう。両辺を (z - π/2)^2 で割ると
(tan z)/(z - π/2) = Σ[k=0→∞] (c_k)(x - π/2)^(k-2) となります。
あるいは、これを
(tan z)/(z - π/2) = (c_0)/(x - π/2)^2 + (c_1)/(x - π/2)
         + Σ[n=0→∞] (c_{n+2})(x - π/2)^n
と書いたほうが分かりやすいかな?

後は、c_0 = -1, c_1 = 0 であることをつきとめれば完了です。
[1] で z→π/2 の極限をとれば c_0 の値が、
[1] の両辺を d/dz してから z→π/2 の極限をとれば c_1 の値が
判りますね。やってみてくださいよ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

別件なのですが、
g(z)=tan(z)/(z-π/2)
-->これはtanzは1位の極なので実際は2位の極となり
res()=limd/dz(z-π/2)^2・g(z)となります

と教えて頂いたのですが、
どうやってres()=limd/dz(z-π/2)^2・g(z)と導いたかわかりません。
ある方からは留数の計算定義そのものと言われましたが、留数の計算定義の公式を教えて下さい。

お礼日時:2022/09/10 22:44

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