教えてください。

関数ｆ(θ）=acos^2θ＋(a-b)sinθcosθ＋bsin^2θの最大値が3+√7　、最小値が3-√7
となるような実数の定数a,bの値を求めよ。

解いてくださるとうれしいです。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/05/21 22:07

＞f(θ)=acos^2θ+(a-b)sinθcosθ+bsin^2θ

f'=-2acosθsinθ+(a-b)cos^2θ-(a-b)sin^2θ+2bsinθcosθ
=(a-b)(cos^2θ-sin^2θ-2cosθsinθ)
=(a-b){cos2θ-sin2θ)
f"=-2(a-b)(sin2θ+cos2θ)
(ア)b＜aのとき
f"=-2(a-b)(sin2θ+cos2θ)=0
tan2θ=-1,2θ=3π/4、2θ=7π/4(変曲点)
0＜2θ＜3π/4、7π/4＜2θ＜2πでf"＜0(上に凸)
3π/4＜2θ＜7π/4でf"＞0(下に凸)
f'=(a-b){cos2θ-sin2θ)=0
tan2θ=1、2θ=π/4(極大値)、2θ=5π/4(極小値)、
f(θ)=acos^2θ+(a-b)sinθcosθ+bsin^2θ
=(a-b)/2(1+cos2θ)+(a-b)/2sin2θ+b
=(a-b)(cos2θ+sin2θ)/2+(a+b)/2だから
3+√7=(a-b)(cosπ/4+sinπ/4)/2+(a+b)/2
=(a-b)(1/√2+1/√2)/2+(a+b)/2
=(a-b)/√2+(a+b)/2・・・・・(1)
3-√7=(a-b)(cos5π/4+sin5π/4)/2+(a+b)/2
=(a-b)(-1/√2-1/√2)/2+(a+b)/2
=(a-b)(-1/√2)+(a+b)/2・・・・・(2)
(1)(2)辺々加えて
3+√7=(a-b)/√2+(a+b)/2
3-√7=(a-b)(-1/√2)+(a+b)/2
6=a+b、b=6-aを(1)に代入3+√7=(2a-6)/√2+6/2
a=3+√14/2、b=3-√14/2
(イ)b＞aのとき
f"=-2(a-b)(sin2θ+cos2θ)=0
tan2θ=-1,2θ=3π/4、2θ=7π/4(変曲点)
0＜2θ＜3π/4、7π/4＜2θ＜2πでf"＜0(下に凸)
3π/4＜2θ＜7π/4でf"＞0(上に凸)
f'=(a-b){cos2θ-sin2θ)=0
tan2θ=1、2θ=π/4(極小値)、2θ=5π/4(極大値)、
3+√7=(a-b)(cos5π/4+sin5π/4)/2+(a+b)/2
=(a-b)(-1/√2-1/√2)/2+(a+b)/2
=(a-b)(-1/√2)+(a+b)/2・・・・・(3)
3-√7=(a-b)(cosπ/4+sinπ/4)/2+(a+b)/2
=(a-b)(1/√2+1/√2)/2+(a+b)/2
=(a-b)/√2+(a+b)/2・・・・・(4)
(3)(4)辺々加えて
6=a+b、a=6-bを(3)に代入
b=3+√14/2
a=6-3-√14/2=3-√14/2
以上から
a=3+√14/2、b=3-√14/2、又は
a=3-√14/2、b=3+√14/2・・・・・答

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2014/05/21 01:11

ｆ(θ）=acos^2θ＋(a-b)sinθcosθ＋bsin^2θ

=a(1+cos2θ)/2+(a-b)sin2θ/2+b(1-cos2θ)/2 （倍角公式）

=(a+b)/2+(a-b)(cos2θ+sin2θ)/2

=(a+b)/2+(a-b)√2sin(2θ+π/4)/2　　　　　　　　（単振動の合成）

1)a-b>0のとき

最大値=(a+b)/2+(a-b)√2/2=3+√7 (1)

最小値=(a+b)/2-(a-b)√2/2=3-√7　　　(2)

(1)+(2)：

(a+b)=6 (3)

(1)-(2)：

(a-b)√2=2√7　　　　　　　　　　　　　　(4)

(3)+(4)/√2：

2a=6+√14

a=3+√14/2 (5)

(3)-(4)/√2：

2b=6-√14

b=3-√14/2 (6)


2)a-b<0のとき

最大値=(a+b)/2-(a-b)√2/2=3+√7 (1)'

最小値=(a+b)/2+(a-b)√2/2=3-√7　　　(2)'

(1)'+(2)'：

(a+b)=6 (3)'

(1)'-(2)'：

(a-b)√2=-2√7　　　　　　　　　　　　　　(4)'

(3)'+(4)'/√2：

2a=6-√14

a=3-√14/2 (5)'

(3)'-(4)'/√2：

2b=6+√14

b=3+√14/2 (6)'

No.1 回答者： 85004850 回答日時： 2014/05/20 22:16

微分して連立方程式を解けばいい。

大した問題ではない。