数学I

x軸で接し、2点(1,1)、(4,4)を通る二次関数のグラフの方程式を求めよ

解答ではa(p-1)^2=1…① a(p-4)^2=4…② として
②÷①をして、p=±2となっていたんですが、これ以外にやり方はないのでしょうか？
どなたかわかる方いますか？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/07 05:33

x軸で接するから二次関数のグラフの方程式は

y=a(x-p)^2
と表される

(1,1)を通るから
1=a(1-p)^2…①

(4,4)を通るから
4=a(4-p)^2…②

4×①=②　だから
4a(1-p)^2=a(4-p)^2
↓両辺をaで割ると
4(1-p)^2=(4-p)^2
4(p^2-2p+1)=p^2-8p+16
4p^2-8p+4=p^2-8p+16
3p^2=12
↓両辺を3で割ると
p^2=4
↓両辺を1/2乗すると
p=±2

p=2のとき
1=a(1-2)^2
1=a
y=(x-2)^2

p=-2のとき
1=a(1+2)^2
1=9a
1/9=a
y=(1/9)(x+2)^2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。個人的にはこっちの方がすっと理解出来ました！

お礼日時：2024/04/08 20:40

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/07 08:28

x軸で何に接するの？

それ次第じゃない？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/07 11:05

a(p - 1)^2 = 1 …①

a(p - 4)^2 = 4 …②

の連立方程式を解くのだから、②÷① 以外、かつ #1 さん以外の方法であれば、①②を展開して
　ap^2 - 2ap + a = 1　　　　①'
　ap^2 - 8ap + 16a = 4　　　②'
①' - ②' より
　6ap - 15a = -3　　　③
→　a(2p - 5) = -1
p ≠ 5/2 なので（p = 5/2 なら右辺は「0」でないといけないから）
　a = -1/(2p - 5)　　　④

これを①に代入して
-(p - 1)^2 /(2p - 5) = 1
→　p^2 - 2p + 1 = -2p + 5
→　p^2 - 4 = 0
→　(p - 2)(p + 2) = 0
よって
　p = ±2

これを④に代入すれば
p = 2 のとき
　a = -1/(4 - 5) = 1
p = -2 のとき
　a = -1/(-4 - 5) = 1/9

従って、求める関数は
　y = (x - 2)^2
または
　y = (1/9)(x + 2)^2


あるいは、③から
　6ap = 15a - 3
→　p = (5a - 1)/(2a)　　　⑤
として①に代入して
　a[(5a - 1)/(2a) - 1]^2 = 1
→　a[(5a - 1) - 2a]^2 = 4a^2
→　a(3a - 1)^2 = 4a^2
→　27a^3 - 6a^2 + a = 4a^2
→　27a^3 - 10a^2 + a = 0
a ≠ 0 なので
　27a^2 - 10a + 1 = 0
→　(9a - 1)(a - 1) = 0
よって
　a = 1/9, 1

これを⑤に代入すれば
　a = 1/9 のとき p = (5/9 - 1)/(2/9) = -2
　a = 1 のとき p = (5 - 1)/2 = 2

連立方程式は、いろいろな方法で解けます。
ゴリゴリやればよいだけ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。中々難しいですね...

お礼日時：2024/04/08 20:39

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/04/07 11:25

求めるべく方程式を

y＝ax²+bx+cとおく
グラフがx軸と接するなら
ax²+bx+c＝0は重解となるから
判別式D＝b²-4ac＝0…①
グラフが(1、1)を通るなら
1＝a+b+c…2
(4、4)を通るなら
4＝16a+4b+c…3
連立方程式を解く
でも、できそうですが面倒くさい…

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。やっぱりめんどくさくなっちゃいますよね。

お礼日時：2024/04/08 20:34

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/07 13:43

なぜ皆「x軸で接し」をスルーして解きはじめてしまうかなあ？

「コンビニでガムが売ってた」派なの？

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2024/04/07 14:04

＞これ以外にやり方はないのでしょうか？

一般的な 二次関数 y=ax²+bx+c としたのでは、
x 軸との接点も分からないのですから、未知数が多すぎます。
出来ないことはない筈ですが 適切ではないでしょうね。

グラフで考えれば 与えられた２点は 第１象限ですから、
x² の係数は 正で、x軸接点の 座標を (n, 0) とすると、
1<n<4 と n<1 の 二通りあることが分かりますね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やっぱり難しいですよね。

お礼日時：2024/04/08 20:36

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2024/04/07 16:56

高校数学で習う範囲での二次関数(放物線)の方程式は一般に

y=a(x-p)+q

と言う形で書けますが、x軸に接するのだからqは0すなわち

y=a(x-p)

と書けます。なので点(1,1)を通る場合は

1=a(1-p)…①

そして点(4,4)を通る場合は

4=a(4-p)…②

後は①と②を連立方程式として解けば求められるはずです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。y=a(x-p)+q
でもy=a(x-p)^2+qでもどちらでもいいんですか？

お礼日時：2024/04/08 20:37

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/08 05:38

f(x)=y=ax^2+bx+c

f(1)=a+b+c=1
f(4)=16a+4b+c=4
f(-b/(2a))=0 (軸位置でy=0)
で解けるよ。

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2024/04/08 11:20

f(x)=y=ax^2+bx+c

微分して　f'(x)=2ax+b
x軸で接しているので　f'(x)=0 即ち　2ax+b=o ∴　x= - b/(2a)
このとき　x軸　即ち　y=0 だから
f(-b/(2a))=0

No.10 回答者： finalbento 回答日時： 2024/04/08 21:00

回答を訂正。

放物線の方程式は

y=a(x-p)^2+q

でしたね。二乗を書き忘れていたようです。大変失礼しました。

この回答へのお礼

分かりました。ありがとうございます！

お礼日時：2024/04/08 21:28