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今日、数Bのベクトルの問題を解いてて
疑問に思ったことがあるので質問します!

よく式の値を求める問題の時に
bベクトルの大きさ=4なので bベクトル2乗の大きさ=4の2乗
といったような計算過程を用いますよね?

学校の先生は、
2乗すると計算が楽になるから
と説明をしましたが
なぜ2乗すると楽になるかだったり 2乗する根本がわからないので
しっくりきません。

どなたか詳しく教えてください。

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内積 意味」に関するQ&A: 内積、外積の意味

A 回答 (3件)

ベクトルAを「A↑」で表すことにします。



2次元のベクトルの場合だと
A↑の成分を(x1,y1)とすると
A↑の大きさ|A↑|=√(x1^2+y1^2) となって√が扱いにくい。
そこでA↑の大きさの2乗
|A↑|^2=A↑・A↑(内積)=x1^2+y1^2
の方が√がないので扱いやすいということでしょう。

3次元のベクトルの場合だと
A↑の成分を(x1,y1,z1)とすると
A↑の大きさ|A↑|=√(x1^2+y1^2+z1^2) となって√が扱いにくい。
そこでA↑の大きさの2乗
|A↑|^2=A↑・A↑(内積)=x1^2+y1^2+z1^2
が方が√がないので扱いやすいということでしょう。

>2乗すると計算が楽になるから
>と説明をしましたが
>なぜ2乗すると楽になるかだったり 2乗する根本がわからないので
>しっくりきません。

ベクトルを2乗するのではありません。
同じベクトル同士の内積をとるのです。
同じベクトルの内積=ベクトルの大きさの2乗(これはスカラー量です)
となり、煩わしい√操作なしでベクトルの大きさを扱えるというメリットの為にベクトルの大きさの2乗(=内積)で扱われるのです。
それ以上の意味はありません。
実際は、ベクトルを2乗するのではなく
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2013/06/01 21:46

2乗して根号(√)を取った方が、


例えば大小を比較したりするときに楽だから、
ということではないかと思います。

もちろん、例えば大小比較などの際に
根号を取る取らないは自由でありまして、
根号付きで計算することになれているのであれば、
その方法をとってもいっこうに差し支えありません。
要するに正解にたどり着ければいいのですから。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうどございます。

お礼日時:2013/06/01 21:42

>なぜ2乗すると楽になるかだったり 2乗する根本がわからない。

。。。

ピタゴラスの定理 で三平方の定理があります。 それが根本となってるのですね。

直角三角形で 直角を挟んだ 2辺の 2乗の和は 残り(一番長い)の辺の 2乗に等しいとありあます。
●ここで 「何故、2乗するのか?」 の疑問が出ると思いますが、 少し考えて下さい。 辺の2乗とは 「その辺を1辺とした 正方形の面積」 になるからです。 他の辺も同じですね。

ベクトルの場合も それに当てはまる形にすれば分かりやすい、つまり楽になる と思います。
まずは教科書の索引から 「ピタゴラスの定理」 を探してみて下さい。


ピタゴラスの定理の参考:
http://www.weblio.jp/content/%E3%83%94%E3%82%BF% …
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    • 0
この回答へのお礼

URLまでつけてくださり
ありがとうございます。

お礼日時:2013/06/01 21:40

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内積 意味」に関するQ&A: 6÷2(1+2)=?

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Qベクトル絶対値の二乗について(子供の塾の先生の教え方について)

↑a+↑b=↑0の場合、

↑a=-↑b … ①
両辺の大きさを比較して、
|↑a|=|↑b| … ②
両辺を二乗して、
|↑a|^2=|↑b|^2 … ③

塾では①から③を求める場合、
一旦②の『絶対値の形にしてから計算する。』と教わったそうです。
--------------------------------------------------------------------
しかしながら、
↑a=-↑b … ①
①の両辺の内積を計算して
|↑a|^2=|↑b|^2 … ③

のように②を省略しても、OKでは?と感じます。
--------------------------------------------------------------------
②を書かないと、受験数学では減点となるでしょうか、あるいは、厳密性(?)にかけると判断されるのでしょうか?

このあたりの事情について、お分かりの方がおられましたらよろしくお願い申し上げます。

Aベストアンサー

数学科の者です。
ベクトルの定義からして、「↑a=-↑b」というのは、↑a と↑b は大きさは同じだけど向きは逆、ということを表しています。ですので②の意味も含んでおり、省いても全く問題ありません。塾の先生が②を教えたのは、「大きさが同じ」ということを強調させるためだと思います。その方が生徒にとって分かりやすいですからね。
この問題に関しては以上です。

ここからは私が大学の先生方(入試の採点者にあたる人達)を見ている中での考えです。数学の解答を書く際に大事なのは、途中式を全部書くことではないと思います。論理が首尾一貫していて、理解に必要なプロセスが書いてあることが大事だと思います。大学の先生方はそれを重要視されます。
結論とそのプロセスを分かっていれば論理の首尾一貫性はまあ大丈夫かなと思いますので、結論に向けてどのくらいのプロセスを書くかが悩みどころですよね。今回の質問もそうだと思います。
入試は時間との戦いですので、定義から直ちに分かることやごく簡単な途中式はいちいち書かなくて良いと思います。今回の質問だって、「↑a=-↑b」は「|↑a|=|↑b|」を含んでいることがベクトルの定義から直ちに分かるので書かなくて良いのです。それに対し、例えば積分の計算などは答えが定義から分かることでは無いので途中式もしっかりめに書かなければなりません。この辺の判別ですが、数学の語句や記号の意味をしっかり分かっていないと出来ません。数学の受験勉強といえば問題演習を思い浮かべますが、まずは用語や記号の定義です。不安なら途中式を全部書いても良いですが、時間を短縮するために解答を書く際のさじ加減を分かっていると便利かなと思います。
これらのことは、これからの勉強にぜひ活かしていただければと思います!

数学科の者です。
ベクトルの定義からして、「↑a=-↑b」というのは、↑a と↑b は大きさは同じだけど向きは逆、ということを表しています。ですので②の意味も含んでおり、省いても全く問題ありません。塾の先生が②を教えたのは、「大きさが同じ」ということを強調させるためだと思います。その方が生徒にとって分かりやすいですからね。
この問題に関しては以上です。

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Qベクトルの大きさの最小値

ベクトルの大きさの最小値とその時のtの値を求める問題なのですが、ベクトルの大きさの二乗の時のtの値と最小値はわかります。
ですが、その二乗をなくした時の答えがいまいちよく分かりません。

どうして最小値はルートがつくのに、tの値はそのままなんですか?

Aベストアンサー

→p=→OP とおくと、点Pは、直線AB上の点になり、
│→p│=│→OP│ は、2点O,P間の距離を表すから、
│→p│≧0 (← 距離が 『 - 』 になることはない)
になります。

このことを使うと、質問にある解答になるわけですが・・・。


│→p│^2=20(t-(1/2))^2+9

この式から、 │→p│^2 の最小値は 9 です。 (いま、t=1/2 は考えないでください)

次に、
a>0、b>0 のとき
a<b ⇔ a^2<b^2 ・・・・・ ☆
であることを使って、

│→p│^2 の最小値は 9 だから、
9≦│→p│^2
が成り立ちます。つまり、
3^2≦│→p│^2
が成り立ちます。

ここで、
3>0、│→p│≧0 だから、上の ☆印 より
3≦│→p│
になります。

これから、│→p│の最小値が 3 になります。

『 = 』 は、ついても ☆ は成り立ちます。
y=x^2 のグラフの x≧0 の部分で確かめられます。


では、最小値が 3 になるときの tの値 ですが、

『 最小値が 3 になるとき 』
だから、
│→p│=3
です。
両辺を 2乗 して、
│→p│^2=9
になります。
この、
│→p│^2=9
になるときの tの値 が、まさしく、
t=1/2
です。

ということで、

『 最小値はルートがつくのに、tの値はそのまま 』

になります。

→p=→OP とおくと、点Pは、直線AB上の点になり、
│→p│=│→OP│ は、2点O,P間の距離を表すから、
│→p│≧0 (← 距離が 『 - 』 になることはない)
になります。

このことを使うと、質問にある解答になるわけですが・・・。


│→p│^2=20(t-(1/2))^2+9

この式から、 │→p│^2 の最小値は 9 です。 (いま、t=1/2 は考えないでください)

次に、
a>0、b>0 のとき
a<b ⇔ a^2<b^2 ・・・・・ ☆
であることを使って、

│→p│^2 の最小値は 9 だから、
9≦│→p│^2
が...続きを読む

Qベクトルの二乗

基本的な質問なのですが、
|ベクトル|^2と(ベクトル)^2は違う意味ですよね?

Aベストアンサー

同じ。
ベクトルとベクトルの積には、いろいろ種類があるが、
演算子が省略されていたら、内積を表すのが普通だ。
ベクトル a と b の内積を ab と書くことは多いが、
外積を ab と書くことはまずない。その意味で、
a^2 とあったら、内積 aa のことだと見るのが常識的。
(本来、書き手がそのことを注記しなくてはならないが)
手書きだと、いちいち絶対値記号を書くのは面倒だから
|a|^2 の代わりに a^2 と書くことは多い。

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q内積の二乗

問題を解いていて疑問が出来たので質問させていただきます。

(aベクトル×bベクトル)の二乗は、

(aベクトル)×(bベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)

=(aベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)×(bベクトル)

=|aベクトル|^2×|bベクトル|^2

になると思い計算したのですがどうもこうならないみたいです。

どこが間違っているのか自分ではよくわからないです。

なのでどこがどう間違っているのか教えてほしいです。


まだベクトルを習いかけたばかりで馬鹿げた質問でしたらすみません。

Aベストアンサー

まず、内積を表す時は×ではなく、・の記号を使います。
×の記号を使った場合は「外積」というものを表します。

> (aベクトル×bベクトル)の二乗は、
>
> (aベクトル)×(bベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)
>
> =(aベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)×(bベクトル)

「内積」と「かけ算」は別ものです。
この点を質問者さんは大きく勘違いしているのだと思います。

まず数式中にある「二乗」は内積ではありません。かけ算の記号です。
なので

(aベクトル・bベクトル)の二乗
= (aベクトル・bベクトル)・(aベクトル・bベクトル)

と解釈するのは誤りで、正しくは

(aベクトル・bベクトル)の二乗
= (aベクトル・bベクトル)かける(aベクトル・bベクトル)

となります。

そもそも3つ以上のベクトルに対する内積(例えばaベクトル・bベクトル・cベクトル)の計算方法が存在しません。
内積は2つのベクトル量を使って計算しますよね?
もしaベクトル・bベクトル・cベクトルという内積計算をしようとするなら、
まず「aベクトル・bベクトル」の内積を計算をすることになります。
そうすると「aベクトル・bベクトル」の部分はベクトルではなく、
ただの数になりますよね。
そうすると

aベクトル・bベクトル・cベクトル
= (ただの数)・cベクトル

となってしまいます。
内積はベクトル2つを用いた計算なので、
この「(ただの数)・cベクトル」という内積計算は不可能ですよね。
よって3つ以上のベクトルに対する内積計算は不可能なんです。

まず、内積を表す時は×ではなく、・の記号を使います。
×の記号を使った場合は「外積」というものを表します。

> (aベクトル×bベクトル)の二乗は、
>
> (aベクトル)×(bベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)
>
> =(aベクトル)×(aベクトル)×(bベクトル)×(bベクトル)

「内積」と「かけ算」は別ものです。
この点を質問者さんは大きく勘違いしているのだと思います。

まず数式中にある「二乗」は内積ではありません。かけ算の記号です。
なので

(aベクトル・bベクトル)の二乗
= (aベクトル・bベ...続きを読む

Q平面のベクトル内積=0で垂直になる理由?

平面と平面の位置関係が垂直になる時、内積がゼロになることに関しまして、

なぜなのかを、可能ならば 直感的に理解したいです。

ベクトルの基本は勉強しましたが・・・ 

突然、「垂直ならば この計算の答えがゼロになる」 と教わっただけで、まだ腑に落ちないでいます。

もしも良い説明がありましたら、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>なぜなのかを、可能ならば 直感的に理解したいです。

visualにいうこととして、幾何学的に考えてはどうですか。

ベクトルA↑とベクトルB↑の内積IPは

IP=A↑・B↑=|A↑||B↑|cosθ

であって|A↑|、|B↑|はベクトルの大きさ、θはA↑、B↑のなす角度です。

IP=A↑・B↑=0



θ=90°

を意味することが解ります。

いいかえるとIP=A↑・B↑はA↑がB↑に落とす影(射影)であって、垂直なら影が0ということです。

0でない場合はA↑とB↑は平行成分を有して、相互に影を落とすということです。

Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Q水素結合とはどういうものですか?

現在、化学を勉強している者です。水素結合についての説明が理解できません。わかりやすく教えていただけないでしょうか?また、水素結合に特徴があったらそれもよろしくお願いします。

Aベストアンサー

要は、「電気陰性度の大きい原子に結合した水素と、電気陰性度の大きい原子の間の静電的な引力」です。
電気陰性度の大きい原子というのは、事実上、F,O,Nと考えて良いでしょう。
電気陰性度の大きい原子と結合した水素上には正電荷(δ+)が生じます。また、電気陰性度の大きい原子上には負電荷(δー)が存在します。

水素が他の原子と違うのは、その価電子が1個しかないことです。つまり、他のイオンとは異なり、H+というのは原子核(通常は陽子)のみになります。他のイオンの場合には、内側にも電子格殻が存在しますので、原子格がむき出しになることはありません。
ご存じと思いますが、原子核というのは原子のサイズに比べてはるかに小さいために、H+というのは他のイオンとは比べ物にならないほど小さいといえます。もちろん、正電荷を持つ水素というのは水素イオンとは異なりますので、原子殻がむき出しになっているわけではありませんが、電子が電気陰性度の大きい原子に引き寄せられているために、むき出しに近い状態になり、非常に小さい空間に正電荷が密集することになります。
そこに、他の電気陰性度の大きい原子のδーが接近すれば、静電的な引力が生じるということです。
そのときの、水素は通常の水素原子に比べても小さいために、水素結合の結合角は180度に近くなります。つまり、2個の球(電気陰性度の大きい原子)が非常に小さな球(水素原子)を介してつながれば、直線状にならざるを得ないということです。

要は、「電気陰性度の大きい原子に結合した水素と、電気陰性度の大きい原子の間の静電的な引力」です。
電気陰性度の大きい原子というのは、事実上、F,O,Nと考えて良いでしょう。
電気陰性度の大きい原子と結合した水素上には正電荷(δ+)が生じます。また、電気陰性度の大きい原子上には負電荷(δー)が存在します。

水素が他の原子と違うのは、その価電子が1個しかないことです。つまり、他のイオンとは異なり、H+というのは原子核(通常は陽子)のみになります。他のイオンの場合には、内側にも電子格殻...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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