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放物線y=x2-4ax+2b…(1)がx軸と異なる2点A,Bで交わっている(ただし、a,bは定数)
(1)頂点の座標を求めよ。
(2)(1)が点(1/4,1/16)を通るとき、bをaを用いてあらわせ。さらにAB=2√3であるとき、aの値を求めよ。
(3)2点A,Bのx座標がともに0<x<8を満たすような整数a,bの組の数を求めよ。このとき、A,Bのx座標をそれぞれα、Βとすると、α+Β>8を満たすような整数a,bの値を求めよ。

(1)は
y=(x-2a)^2+2b-4a^2
より、頂点は(2a,2b-4a^2)と出ましたが、(2)と(3)がよく分かりません。
教えてください、よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

こんにちは



(1)は質問者様のまま
y = x^2 - 4ax + 2b
=(x - 2a)^2 + (2b - 4a^2)

頂点の座標 (2a , 2b - 4a^2)

(2) (1)が点(1/4,1/16)を通るとき→この点が放物線上にあるということなので x = 1/4 , y = 1/16 を式に代入

1/16 = (1/4)^2 -4a * (1/4) + 2b
(全体に16をかけて)
1 = 1 - 16a + 32b
32b = 16a
b = a/2

図が描ければ分かりやすく説明できるのですが・・・
点Aの座標は頂点から p マイナスしたところの点ですので A(2a-p,0)
点Bの座標は頂点から p プラスしたところの点ですので B(2a+p,0)
頂点からy軸に平行に引いた線とx軸との交点を O とすると O(2a,0)
 A      O     B
-○---○---○--(←x軸)
    ←p→  ←p→
        ● (←頂点 (2a , 2b-4a^2) )

AB = AO + BO = |(2a+p)-2a| + |2a-(2a-p)| = 2√3
AOとBOの長さは同じなので AO = √3

したがって |2a-(2a-p)| = √3
|p| = √3

なので点Aの座標は(2a-√3,0) , 点Bの座標は(2a+√3,0)となります
この点が放物線上にあるので

0 = { (2a + √3) - 2a }^2 + (a - 4a^2)
(計算を楽にする為に(1)で導いた式を使っています
(2)の初めにb=a/2としたのでそれを代入)
0 = 3 + a - 4a^2
4a^2 - a - 3 = 0
(4a + 3) (a - 1) = 0
a = 1 , -3/4

(3)
0 < 2a < 8 (頂点のx座標が0より大きく8より小さい)
2b - 4a^2 < 0 (頂点のy座標は0より小さい)
f(0) = 2b > 0 (x=0のときy座標は0より大きい)
f(8) = 64 - 32a + 2b > 0 (x=8 のときy座標は0より大きい)


したがって
0 < a < 4
16a - 32 < b < 2a^2 かつ 0 < b

故に a = 1 , 2 , 3

a = 1 のとき 
-16 < b < 2 かつ 0 < b
したがって 0 < b < 2 となり b = 1

a = 2 のとき
0 < b < 8 かつ 0 < b
したがって b =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

a = 3 のとき
16 < b < 18 かつ 0 < b
したがって b = 17

(2)の考え方のようにして
A(2a-p,0) , B(2a+p,0)
α = 2a - p , β = 2a + p
α + β = 4a > 8
a > 2

したがって a = 3 , b = 17

※正規でやるとしたらNo.2の回答者様のようなやり方だと思います
あくまでも別解として御覧ください(^^)
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前回の投稿、お読みでしょうか。

出来たら学年も併記してください。
削除されるのが、見えていたので ぶっきら棒な回答であった事をお詫びします。

念のため、加筆して投稿させて頂きます。
ーーー
#0 f(x)=x^2-4ax+2b

>x軸と異なる2点A,Bで交わってい・・・
と読んだ瞬間に→<判別式が正>とメモしましょう。

判別式は二通りの書き方がありますが
基本の方でかきます。最終的には同じ結果になりますので。
(びー自乗)ー(よん)(えー)(しー)て式です。ここでは、
(4a)^2-4*1*(2b)>0  となります。計算して後々のために、
#1 【b<2(a^2)】まで変形して置きます。

(2)
(1/4,1/16)を#0に代入します。直ちに 
1/16=1/16ーa+2b 
【a=2b】 題意に合うように変形して 【b=(1/2)a】これを #0に代入すると、
#2 f(x)=x^2ー4ax+a となります。この後が難解ですが、
>AB=2√3
>A,Bのx座標をそれぞれα、β
すなわち
|αーβ| =2√3 と書けます。両辺を自乗して<解と係数の関係>を使用できるように変形します。
(αーβ)^2=(2√3)^2 
(α+β)^2ー4αβ=12・・・何故こうなるかは、考えて下さい。
   α+β=4a
    αβ=a   なので
16(a^2)-4a=12  式変形して 
4(a^2)ーa-3=0
(4a+3)(a-1)=0  
    【a=1,-3/4】

(3)

次は<解の分離>と呼ばれる、高校生には不可避の問題です。
#100  判別式   
#200  軸
#300  f(x)になにかを代入
全部使うかどうかの判断は訓練しかありません。グラフを書かないと意味不明です。
【本問題では#200は不要です。(難解)・・・・これはエラーです!!!!! 文末を、お読み下さい】
#20 f(0)>0
#30 f(8)>0 と判別式を使います。

f(0)=2b>0
f(8)=64-32a+2b>0  です。
すなわち
b>0
b>16a-32  
b<2(a^2)   準備しておいた判別式です。
連立の不等式に成ります。
x軸、y軸ではなくて、a軸、b軸です。
さらに領域を明確にするために
放物線b=2(a^2)と直線b=16a-32の交点 が必要です。
2(a^2)=16a-32 を解きます。計算すると重解となり、接すると判明します。
必ず鉛筆と消しゴムと計算用紙を準備して下さい。
a=4 とでます。またb=32です。
とても描きにくい図なので、工夫してください。
三角形に似た形です。
領域の周は含まない事も要注意です。
<格子点>と呼ばれる問題です。上手い解法は本問題ではありません。
ひとつ、ひとつ吟味しながら判断します。
調べる範囲は限られています。
a=1、2、3 だけで充分です。
a=1のとき b=1・・・・確かめながらです
a=2のとき b=1、2,3、4、5、6、7・・・(0、8は不要)
a=3のとき b=17 のみ
   【計 9組】です。

条件 α+β>8 より 直ちに
       4a>8
        a>2
つまり a=3 の時のみが解です。幸い一組だけです。
   【 (3、17) 】 が 解です。

SEE YOU

投稿直前で奇妙な事に気が付きました。
当方の、思い違いか、
領域が変です。
無数の格子点があるような気がします。
今は限界なので判明しましたら、ご報告させていただきます。

エラーが判明しました。
#200  軸   は必要でした。

>y=(x-2a)^2+2b-4a^2 より 軸の式は x=2a です。
0<2a<8
0<a<4
この条件が加わって、領域がひとつに限定されます。
ーーー
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> 1が点(1/4,1/16)を通るとき、bをaを用いて表せ


y = x^2-4ax+2b に x = 1/4, y = 1/16 を代入すると(途中省略)
0 = -a+2b なので・・・b = (1/2)a です。

> さらにAB = 2√3であるとき、aの値を求めよ
まず、上記で求めた b = (1/2)a を y = x^2-4ax+2b に代入。
y = x^2-4ax+a になる。次に、点Aと点Bの座標をaを用いて表す。
A,Bはx軸上なのでy = 0、またAB = 2√3なので頂点(x = 2a)より
√3を±して代入すると(途中省略)0 = -4a^2+a+3
つまり、(a-1)(4a+3) = 0となり a = 1または-3/4

(3)は(2)とは全く関係ないのですよね?
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