ランダウリフシッツ理論物理学、力学

系Ａ，系Ｂ（Ｂについては既知）が相互作用しあって運動する場合のラグランジアン（ｐ１１）について、系Ａは与えられた運動をしている外部の場（系Ｂにより作られた）の中で運動する。「運動方程式は座標の各々の独立な（すなわち残りの変数は既知のものとしての）変分によって最小作用の原理から導かれる」から、我々は系ＡのラグランジアンＬＡを求めるために、全系Ａ＋ＢのラグランジアンＬを用いることができる。とあるのですが、「」の部分が言っていることがよくわかりません。教えていただけませんか。

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/04/14 03:27

まず、孤立系のラグラジアンの議論は完了している。

A+Bは孤立系としたので（Aは孤立系でない）なので、
A+BのラグラジアンLは以前の議論が使える。この Lから、孤立系でないAのラグラジアンが求められる、と
言いたいようです。

その根拠があなたの疑問である「」内の言明になる。というのはA+BのラグラジアンLは
L=T(q,q')-U(q) (「'」は時間微分）
であり、「」内の言明から q → qA, qB, q' → qA', qB' と書いて
L=TA(qA,qA')+TB(qB,qB')-U(qA,qB)
となる。

ここで、
T(qA,qB,qA',qB')=TA(qA,qA')+TB(qB,qB')
となることは(5.5)からは直接言えないと思うが、元は(5.1)式なので。

ここで、「」の中の(残りは既知)という意味は、Bの運動は決定され
qB=qB(t)
と言う解が得られている。つまり、U, TBは tが陽な関数
U=U(qA,qB(t))=U(qA,t)
TB(qB(t),qB'(t))=TB(t)
であって

L=TA(qA,qA')+TB(qB(t),qB'(t))-U(qA,t)=TA(qA,qA')+TB(t)-U(qA,t)
となる。

この Lから最小作用に求められた運動方程式は、独立として残ったAの変数 qA,qA' の微分について TB(t)
は0となり
L=TA(qA,qA')+TB(qB(t),qB'(t))-U(qA,t) → LA=TA(qA,qA')-U(qA,t)
としてもよい。つまり、Aのラグラジアンが求まる。


ということを言っていると思います。ただ、詳しくは無いので参考程度に（しかし分かりにくいことは
間違いない）。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2020/04/15 19:33

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/04/14 10:28

なお、他のサイトで拘束力の説明があったが、この問題には関係していないと思う。

この後、P12で拘束力の話をしているが、拘束力はAに含まれるものを指しており、
Aの自由度、つまり、独立変数が減り、本来のA+Bの話に戻ってしまう。

ただ、断っておくと、ランダウの言わんとすることを推察しただけで、ここにおける
ランダウの言っていることが正しいのか、私にはわからない。

この回答へのお礼

回答者様の解説のおかげで、ランダウの記述の趣旨が何となくつかめました。どうもありがとうございます。

お礼日時：2020/04/15 21:14

No.2 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/04/13 15:41

Ｎｏ１さんへの「お礼」を読みました。

それでしたら、やっぱり、ランダウ＝リフシッツの本は避けた方が良いですね。
ランダウ＝リフシッツの本は簡潔に高度な事まで扱っていますが、
入門レベルでは無く、ある程度内容が分かっていないと、むしろ勉強の妨げになると思います。
まあ、私も学生時代、相対論の初学者なのに、
名著だからというのでランダウ＝リフシッツの「場の古典論理」を読もうとしました・・・
・・・１０ページも行かずに玉砕でした（＾＾；）

＞解析力学とはどういうものかという思想が習得できなかったため

これは質問者さんだけではありません。
多分、多くの人は、使えるけれど、なんでこんなもんが出てきたのか説明出来ないと思います。
（もっとも、私自身もキチンと説明できるのか、自信はありませんが・・・）
これは、やっぱり歴史的な発展を知るしかないと思います。そこで、

「古典力学の形成　ニュートンからラグランジュへ」著：山本義隆　日本評論社

をお勧めします。この本は、ケプラー問題の歴史から入って行くので、
解析力学にたどり着くまでもどかしいですが、読む価値は十分あると思います。
簡単に書いておきますが、
ニュートンの運動方程式は、力の定義なのか、それとも運動の原理なのか？って疑問があったそうです。
なんで、こんな疑問が湧くのかというと、静力学（つまり、静止してつり合いを保っている状態を扱う力学）では、
仮想仕事を使って問題を解けば、ニュートン力学みたいに各質点に働く力を調べ上げなくても解けてしまうからです。
ただ、これは静力学に対するもので、運動学に適用するにはどうしたらいいか分からなかったんですね。
で、あの“ダランベールの原理”という、何かしょーもなさそうなのに名前が残っている”あれ”が出てくるんです。
ダランベールの原理を使うと、ニュートンの運動方程式を仮想仕事にすることができます。
で、仕事は運動エネルギーと結びついていますので、
ダランベールの原理と運動エネルギー、それと最小作用の原理を結びつけて出来上がったのが”ハミルトンの原理”です。
そこから、ある意味、微分形として、ラグランジュの運動方程式やらハミルトンの正準方程式に導かれていきます。
上記の本では、ハミルトンの正準方程式まで行かないのですが、
ラグランジュ形式やハミルトン形式のメリットは、多分読まれた本でご存じと思います。
最小作用の原理に関しては、上記の本を読まれれば、”なぁ～んだ、原理なんだ”って思えるかもです。
残念ながら、最小作用の原理について詳細に述べた本を知りません。
解析力学を使う意義に関しては、決して読みやすい本とは言えませんが、名著と言われた

「古典力学」著：ゴールドスタイン　吉岡書店

があります。
残念ながら、もっと読みやすい、最近出た本を知りませんので、書店でも調べてみて下さい。

長文になって申し訳ありませんが、ランダウ＝リフシッツの本のＰ１１は、
Ｐ３の（２・４）の下に書いてある式を見て頂いて、一般座標の偏微分が出てきているのに注意してもらえれば分かると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2020/04/15 19:32

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/13 10:26

質問者さんのレベルが分からないので、ちょっと失礼な回答になるかもしれませんが、そもそもの「解析力学の基本的な考え方」を知らずに「ランダウリフシッツ」の挑戦されていませんか？

昔から「名著」とされているものですが、「分かっている人」が「整理のため、体系化のため」に読むのならよいですが、初学者がそこから始めるのはあまりに無謀かと思います。登山初心者が、最初から「エベレスト登頂」をしているようなものですから。

「変分原理」とか「最小作用」ということが分かって読まれているのであれば申し上げることはないのですが、この質問が「最小作用の原理とは何ですか？」というものであれば、一度ランダウリフシッツは一度置いて、もっと「基本」から説明した参考書を一読した方がよいと思います。
下記などは、それを「初歩の一歩から」書いてある本だと思います。
↓
「よくわかる解析力学」
https://www.amazon.co.jp/%E3%82%88%E3%81%8F%E3%8 …

もし「そんなことは分かっている」という方でしたら、この回答は無視してください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。「量子力学を学ぶための解析力学」という本は読みましたが、最小作用の原理とは何か（物体は∫Ｌｄｔが極小になるような運動をする）という程度の知識しかなく、また具体的な問題を解いたことがないため、ランダウの「」のような記述をされてもピンとこないという感じです。「量子力学を学ぶための解析力学」を読んでも、数学的な式変形は何とかおえましたが、解析力学とはどういうものかという思想が習得できなかったため、ランダウを読んでいます。

お礼日時：2020/04/13 14:01