デバイ理論の低温部の近似式

デバイ理論での温度Tでの比熱は

C=9R(T/θ)^3∫[0≦x≦(T/θ)] exp(x)*x^4/(exp(x)-1)^2 dx

で表されるのですが　
T≪θ　(T/θ)→∞　　　のとき

∫[0≦x≦∞] exp(x)*x^4/(exp(x)-1)^2 dx＝４π^4/15

とかいてあったのですが、これは公式と考えてもいいのでしょうか?それとも自分でできますか?
部分積分で途中まではやってみたのですが、
そこから先がわかりません
参考になる書籍ややり方がありましたら
教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： mmky 回答日時： 2003/05/30 17:47

∫[0≦x≦∞] exp(x)*x^4/(exp(x)-1)^2 dx＝4π^4/15

計算のやり方の参考例まで、
少し変形がいりますが、
留数法よりは以下のやり方が簡単でいいですね。

{1/(e＾x-1)＾2}=e＾-2x{(1-e＾-x)＾-2}
=(e＾-2x){1+2*e-x/1!+2*3*e＾-2x/2!+2*3*4e＾-3x/3!+・・｝
=(e＾-2x){1+2*e-x/1!+3*e＾-2x+4e＾-3x+・・｝
=(e＾-2x)Σ[k=0～∞]{(1+k)e＾-kx}

∫[0≦x≦∞] exp(x)*x^4{1/(exp(x)-1)^2}dx
=∫[0≦x≦∞] exp(-x)*x^4{Σ[k=0～∞](1+k){e＾-kx}}dx
=Σ[k=0～∞](1+k)∫[0≦x≦∞] exp-(1+k)x*x^4dx
(1+k)x=y, x=y/(1+k) dx=dy/(1+k)
=Σ[k=0～∞]{(1+k)/(1+k)＾5}∫[0≦y≦∞] exp-y*y^4dy
=Σ[k=0～∞]{1/(1+k)＾4}∫[0≦y≦∞] exp-y*y^4dy
∫[0≦x≦∞] exp-y*y^4dy=Γ(5)=4!=4*3*2*1=24
=24*Σ[k=0～∞]{1/(1+k)＾4}
オイラー級数より、
Σ[k=0～∞]{1/(1+k)＾4}=ζ(4)=π＾4/90
24*Σ[k=0～∞]{1/(1+k)＾4}=24*π^4/90=4π^4/15
ということで確かに（4π^4/15）になりますね。

この回答へのお礼

ありがとうございました、お礼が遅くなって申し訳ありません。丁寧に書き込んでくださって本当に感謝しています。また、よろしくお願いします。

お礼日時：2003/06/20 11:38

No.2 回答者： mmky 回答日時： 2003/05/23 08:39

参考程度に

∫[0≦x≦∞] exp(x)*x^4/(exp(x)-1)^2 dx
＝4π^4/15
この積分は普通の定積分法では答えがでません。理由はexp(x)-1=0, x=0, exp(0)=1 で関数が発散するからです。
ｘの代わりに複素変数zと置き換えてた複素関数積分としての取り扱いで回答が得られますね。
式を以下のように変形して、
f(z)=exp(z)*z^4/(exp(z)-1)^2
∫[-∞≦x≦∞] exp(z)*z^4/(exp(z)-1)^2 dz
exp(z)-1=0, z=2πi, 留数は 16π＾4, など、
というようなやり方ですね。関数論や複素関数積分を参考にされると良いですね。

この回答へのお礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。確かに普通にやっても出来なかったんで、おかしいなと思ってたんです。参考になりました。また、よろしくお願いします。

お礼日時：2003/06/20 11:40

No.1 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/05/23 08:09

参考文献：「統計力学」長岡洋介著　岩波書店

の巻末付録にあります。

公式というのは誰かが導いたものなので
自分でやってもできるはずですが、
この本には導き方も出ているので参考になります。

この回答へのお礼

ありがとうございました、お礼が遅くなって申し訳ありません。おかげでやっと、4週間連続の発表を乗り切りました。また、よろしくお願いします。

お礼日時：2003/06/20 11:37